Calcule o limite sem usar o método de Bernoulli-lHôpital. Se não existir, justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando $ x $ se aproxima de
pela direita ($ -3^{+} $) da função:
Vamos usar conceitos de limites e fatoração para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão. Olhe para o numerador $ x^{2} - 9 $. Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador $ x^{2} + 6x + 9 $. Esse é um trinômio quadrado perfeito, que pode ser fatorado assim:
Passo 4
Substituindo as fatorações na expressão original, temos:
Podemos simplificar cancelando um $ (x + 3) $ do numerador e denominador:
Passo 5
Agora, a expressão ficou mais simples:
Queremos calcular o limite quando $ x $ se aproxima de
pela direita. Vamos substituir $ x $ por valores próximos a
para entender o comportamento da função.
Passo 6
Substituindo $ x = -3 $ diretamente na expressão simplificada:
Isso nos dá uma forma indefinida, pois não podemos dividir por zero. Então, precisamos analisar o comportamento da função à medida que $ x $ se aproxima de
pela direita.
Passo 7
Quando $ x $ se aproxima de
pela direita ($ -3^{+} $), $ x $ está um pouquinho maior que
, por exemplo,
. Vamos ver o sinal do numerador e do denominador:
- Numerador: $ x - 3 $ será
(negativo) - Denominador: $ x + 3 $ será
e se $ x $ está um pouquinho maior que , $ x + 3 $ será positivo, mas muito próximo de zero.
Passo 8
Então, temos uma fração onde o numerador é negativo e o denominador é positivo e está se aproximando de zero. Quando dividimos um número negativo por um número positivo que tende a zero, o resultado tende a
.