Calcule o limite sem usar o método de Bernoulli-lHôpital. Se não existir, justifique.
lim x -3^+ x^2-9x^2+6 x+9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando $ x $ se aproxima de x pela direita ($ -3^{+} $) da função:
-3
Vamos usar conceitos de limites e fatoração para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão. Olhe para o numerador $ x^{2} - 9 $. Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
x^2 - 9

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador $ x^{2} + 6x + 9 $. Esse é um trinômio quadrado perfeito, que pode ser fatorado assim:
x^2 + 6x + 9

Passo 4

Substituindo as fatorações na expressão original, temos:
x^2 - 9x^2 + 6x + 9 = (x - 3)(x + 3)(x + 3)^2
Podemos simplificar cancelando um $ (x + 3) $ do numerador e denominador:
(x + 3)

Passo 5

Agora, a expressão ficou mais simples:
x - 3x + 3
Queremos calcular o limite quando $ x $ se aproxima de x pela direita. Vamos substituir $ x $ por valores próximos a -3 para entender o comportamento da função.

Passo 6

Substituindo $ x = -3 $ diretamente na expressão simplificada:
x = -3
Isso nos dá uma forma indefinida, pois não podemos dividir por zero. Então, precisamos analisar o comportamento da função à medida que $ x $ se aproxima de -3 - 3-3 + 3 = -60 pela direita.

Passo 7

Quando $ x $ se aproxima de x pela direita ($ -3^{+} $), $ x $ está um pouquinho maior que -3, por exemplo, -3^+ . Vamos ver o sinal do numerador e do denominador:
  • Numerador: $ x - 3 $ será x (negativo)
  • Denominador: $ x + 3 $ será -3 e se $ x $ está um pouquinho maior que -2.999, $ x + 3 $ será positivo, mas muito próximo de zero.

Passo 8

Então, temos uma fração onde o numerador é negativo e o denominador é positivo e está se aproximando de zero. Quando dividimos um número negativo por um número positivo que tende a zero, o resultado tende a -infty.

Resposta

lim x -3^+ x^2 - 9x^2 + 6x + 9 = -infty

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