Seja f: R^2 R uma função diferenciável. Julgue as afirmativas:
p=(a, b) é um extremante local de f, se nabla f(p)=(0,0);

Passo 1

Vamos lá! O exercício está falando sobre uma função diferenciável e pergunta se um ponto é um extremante local de quando o gradiente de nesse ponto é . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um gradiente, o que significa ser um extremante local e como esses conceitos se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o gradiente de uma função. O gradiente de , denotado por , é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e cujas componentes são as derivadas parciais de em relação a cada variável. No ponto , se , isso significa que não há direção de aumento local imediato; ou seja, o ponto é um ponto crítico.

Passo 3

Agora, um extremante local é um ponto onde a função atinge um valor máximo ou mínimo em relação aos pontos próximos. Ou seja, é um extremante local se existe uma vizinhança ao redor de onde é maior ou menor que todos os outros valores da função nessa vizinhança.

Passo 4

O fato de é uma condição necessária para que seja um extremante local, mas não é suficiente. Isso significa que, embora todo extremante local seja um ponto crítico (com gradiente zero), nem todo ponto crítico é necessariamente um extremante local. Para determinar se é realmente um extremante local, precisamos analisar informações adicionais, como a matriz Hessiana da função em .

Passo 5

Portanto, a afirmação do exercício diz que é um extremante local se . Já que ter o gradiente zero não garante que seja de fato um extremante, a afirmação está incorreta.

Resposta

A afirmação está incorreta, pois ter é necessário, mas não suficiente para que seja um extremante local.

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