Seja
uma função diferenciável. Julgue as afirmativas:
é um extremante local de
, se
;
Passo 1
Vamos lá! O exercício está falando sobre uma função diferenciável
e pergunta se um ponto
é um extremante local de
quando o gradiente de
nesse ponto é
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um gradiente, o que significa ser um extremante local e como esses conceitos se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o gradiente de uma função. O gradiente de
, denotado por
, é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e cujas componentes são as derivadas parciais de
em relação a cada variável. No ponto
, se
, isso significa que não há direção de aumento local imediato; ou seja, o ponto
é um ponto crítico.
Passo 3
Agora, um extremante local é um ponto onde a função atinge um valor máximo ou mínimo em relação aos pontos próximos. Ou seja,
é um extremante local se existe uma vizinhança ao redor de
onde
é maior ou menor que todos os outros valores da função nessa vizinhança.
Passo 4
O fato de
é uma condição necessária para que
seja um extremante local, mas não é suficiente. Isso significa que, embora todo extremante local seja um ponto crítico (com gradiente zero), nem todo ponto crítico é necessariamente um extremante local. Para determinar se
é realmente um extremante local, precisamos analisar informações adicionais, como a matriz Hessiana da função
em
.
Passo 5
Portanto, a afirmação do exercício diz que
é um extremante local se
. Já que ter o gradiente zero não garante que
seja de fato um extremante, a afirmação está incorreta.
Resposta
A afirmação está incorreta, pois ter
é necessário, mas não suficiente para que
seja um extremante local.