Dê o domínio da função abaixo:
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = \ln \left(x^{3} - 4x^{2} + 3x\right) $ e precisamos descobrir o domínio dessa função. O domínio é basicamente os valores de $ x $ para os quais a função está “valendo”, ou seja, onde ela faz sentido matematicamente. Aqui, como estamos lidando com o logaritmo natural ($ \ln $), precisamos lembrar que o argumento do logaritmo tem que ser positivo. Então, vamos precisar encontrar para quais valores de $ x $ a expressão dentro do logaritmo, que é $ x^{3} - 4x^{2} + 3x $, é maior que zero.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo para facilitar a análise. A expressão é um polinômio de terceiro grau:
Vamos fatorar esse polinômio para encontrar seus zeros, ou seja, os valores de $ x $ que fazem a expressão igual a zero. Fatorar significa escrever o polinômio como o produto de fatores menores.
Passo 3
Vamos fatorar o polinômio $ x^{3} - 4x^{2} + 3x $. Primeiro, podemos fatorar um $ x $ comum:
Agora, ficamos com um polinômio quadrático dentro dos parênteses: $ x^{2} - 4x + 3 $. Vamos fatorar esse quadrático. Procuramos dois números que multiplicados dão $ +3 $ e somados dão $ -4 $. Esses números são $ -1 $ e $ -3 $:
Então, a fatoração completa fica:
Passo 4
Agora que temos os fatores, sabemos que os zeros da expressão $ x(x - 1)(x - 3) $ são $ x = 0 $, $ x = 1 $ e $ x = 3 $. Esses valores dividem a reta numérica em intervalos onde a expressão pode ser positiva ou negativa. Vamos analisar cada intervalo para ver onde a expressão é maior que zero.
Passo 5
Os intervalos que vamos analisar são:
- $ x < 0 $
- $ 0 < x < 1 $
- $ 1 < x < 3 $
- $ x > 3 $
Vamos escolher um número de teste em cada intervalo e verificar o sinal da expressão $ x(x - 1)(x - 3) $.
-
Intervalo $ x < 0 $: Vamos escolher $ x = -1 $:
(negativo) -
Intervalo $ 0 < x < 1 $: Vamos escolher $ x = 0.5 $:
(positivo) -
Intervalo $ 1 < x < 3 $: Vamos escolher $ x = 2 $:
(negativo) -
Intervalo $ x > 3 $: Vamos escolher $ x = 4 $:
(positivo)
Passo 6
Com base nos sinais que encontramos:
- Negativo em $ x < 0 $
- Positivo em $ 0 < x < 1 $
- Negativo em $ 1 < x < 3 $
- Positivo em $ x > 3 $
Como queremos que a expressão $ x^{3} - 4x^{2} + 3x $ seja maior que zero para o logaritmo ser definido, o domínio da função será a união dos intervalos onde a expressão é positiva.
Resposta
O domínio da função $ f(x) = \ln \left(x^{3} - 4x^{2} + 3x\right) $ é: