Calcule o limite sem usar o método de Bernoulli-lHôpital. Se não existir, justifique.
lim x 0^- raiz1-cos (x)x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto0^-dfracraiz1-cos(x)x sem usar a regra de L’Hôpital. O conteúdo principal envolve limites de funções trigonométricas e a identidade trigonométrica para 1-cos(x), além do limite fundamental limuto0sin(u)u=1.

Passo 2

Usando a identidade trigonométrica, temos:
1-cos(x)=2sin^2l(tfracx2r)
Logo, o numerador vira
raiz1-cos(x)=raiz2sin^2l(tfracx2r)= raiz2;l|sinl(tfracx2r)r|

Passo 3

Para xto0^-, o argumento tfracx2 é negativo, então sin(tfracx2)<0 e |sin(tfracx2)|=-sin(tfracx2). Assim
raiz1-cos(x)=raiz2,l(-sinl(tfracx2r)r)
Substituindo no limite e reorganizando:
raiz1-cos(x)x=-raiz2;sin(tfracx2)x =-raiz2;sin(tfracx2)tfracx2;12 =-raiz22;sin(tfracx2)tfracx2

Passo 4

Como limxto0dfracsin(tfracx2)tfracx2=1, o limite original é
-raiz22

Resposta

-\frac{1}{\sqrt{2}}

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