Calcule o valor de
sem usar o método de Bernoulli-lHôpital, caso exista. Se não existir, justifique
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite de $ g(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0. A função $ g(x) $ está definida de três maneiras diferentes dependendo do valor de $ x $:
- Para $ x < 0 $, $ g(x) = \frac{\sin(x)}{x} $
- Para $ x = 0 $, $ g(x) = 2 $
- Para $ x > 0 $, $ g(x) = \frac{1 - \ln(1 - x)}{\cos^2(x)} $
Vamos usar conceitos de limites na matemática, especificamente analisando os limites laterais, ou seja, quando $ x $ se aproxima de 0 pela esquerda e pela direita.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 0 pela esquerda ($ x \to 0^- $). Nessa região, usamos a definição de $ g(x) = \frac{\sin(x)}{x} $.
Sabemos que:
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 0 pela direita ($ x \to 0^+ $). Aqui, usamos a definição de $ g(x) = \frac{1 - \ln(1 - x)}{\cos^2(x)} $.
Primeiro, avaliamos separadamente o numerador e o denominador:
- Para o numerador: $ \lim_{x \to 0^+} [1 - \ln(1 - x)] = 1 - \ln(1) = 1 - 0 = 1 $
- Para o denominador: $ \lim_{x \to 0^+} \cos^2(x) = \cos^2(0) = 1 $
Portanto:
Passo 4
Agora que temos os limites laterais:
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais, o limite geral existe e é igual a esse valor comum.