Calcule o valor de lim x 0 g(x) sem usar o método de Bernoulli-lHôpital, caso exista. Se não existir, justifique
g(x)= sen(x)x & se x<0 2 & se x=0 1-ln (1-x)cos ^2(x) & se x>0

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite de $ g(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0. A função $ g(x) $ está definida de três maneiras diferentes dependendo do valor de $ x $:
  • Para $ x < 0 $, $ g(x) = \frac{\sin(x)}{x} $
  • Para $ x = 0 $, $ g(x) = 2 $
  • Para $ x > 0 $, $ g(x) = \frac{1 - \ln(1 - x)}{\cos^2(x)} $
Vamos usar conceitos de limites na matemática, especificamente analisando os limites laterais, ou seja, quando $ x $ se aproxima de 0 pela esquerda e pela direita.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 0 pela esquerda ($ x \to 0^- $). Nessa região, usamos a definição de $ g(x) = \frac{\sin(x)}{x} $.
Sabemos que:
x
Então:
x to 0^-

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 0 pela direita ($ x \to 0^+ $). Aqui, usamos a definição de $ g(x) = \frac{1 - \ln(1 - x)}{\cos^2(x)} $.
Primeiro, avaliamos separadamente o numerador e o denominador:
  • Para o numerador: $ \lim_{x \to 0^+} [1 - \ln(1 - x)] = 1 - \ln(1) = 1 - 0 = 1 $
  • Para o denominador: $ \lim_{x \to 0^+} \cos^2(x) = \cos^2(0) = 1 $
Portanto:
x

Passo 4

Agora que temos os limites laterais:
limx to 0^- g(x) = 1 e limx to 0^+ g(x) = 1
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais, o limite geral existe e é igual a esse valor comum.

Resposta

limx 0 g(x) = 1

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