Calcule o limite utilizando os teoremas de limites vistos em sala de aula:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a
:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão é uma função da forma
. - Quando
, tanto o numerador quanto o denominador tendem a , então temos uma forma indeterminada do tipo . - O que se pede é o valor numérico do limite.
Passo 2
Vamos recordar um teorema fundamental que aparece sempre em limites trigonométricos pequenos:
Teorema:
Explicação didática (por que isso é verdade): para
pequeno e positivo encontra-se a desigualdade
que pode ser deduzida geometricamente ou por comparação de áreas (ou usando séries ou derivadas, mas a versão geométrica é a mais clássica). Como
, pela propriedade do “teorema do aperto” (squeeze theorem) obtemos
. Isso vale tanto para
quanto para
, então vale para
em geral.
Observação prática: esse limite permite que, quando há
de algo que vai a zero, a gente compare com a própria coisa — por exemplo
se comporta como
quando
.
Passo 3
Outra ferramenta que vamos usar é a propriedade de limites de produtos e quocientes: se
e
com
, então
Também usamos que constantes podem sair dos limites:
.
Passo 4
Agora manipulamos a expressão para usar o limite
. Escrevo a fração de forma a aparecerem termos do tipo
e
. Parto da expressão original e faço um fatoramento algébrico:
Multiplico e divido convenientemente por
e por
(isso é multiplicar por
de forma útil):
Agora simplifico o fator
:
portanto
Passo 5
Aplicamos os limites aos fatores separados. Usando o teorema de Passo 2 com
e com
, temos
(Expliquei que o segundo é o inverso porque escrevemos
; como
, o inverso também tende a
.)
Como o limite do produto é o produto dos limites (Passo 3), temos
Pequena intuição: para
muito pequeno,
e
, então a expressão se aproxima de
.