Calcule o limite utilizando os teoremas de limites vistos em sala de aula:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 \sin 6 x}{\sin 2 x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a 0:
\lim_{x\to 0} \frac{3\sin(6x)}{\sin(2x)}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão é uma função da forma \dfrac{3\sin(6x)}{\sin(2x)}.
  • Quando x\to 0, tanto o numerador \sin(6x) quanto o denominador \sin(2x) tendem a 0, então temos uma forma indeterminada do tipo \dfrac{0}{0}.
  • O que se pede é o valor numérico do limite.

Passo 2

Vamos recordar um teorema fundamental que aparece sempre em limites trigonométricos pequenos:
Teorema: \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Explicação didática (por que isso é verdade): para t pequeno e positivo encontra-se a desigualdade
\cos t \le \frac{\sin t}{t} \le 1,
que pode ser deduzida geometricamente ou por comparação de áreas (ou usando séries ou derivadas, mas a versão geométrica é a mais clássica). Como \lim_{t\to 0}\cos t=1, pela propriedade do “teorema do aperto” (squeeze theorem) obtemos \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1. Isso vale tanto para t\to 0^+ quanto para t\to 0^-, então vale para t\to 0 em geral.
Observação prática: esse limite permite que, quando há \sin de algo que vai a zero, a gente compare com a própria coisa — por exemplo \sin(6x) se comporta como 6x quando x\to 0.

Passo 3

Outra ferramenta que vamos usar é a propriedade de limites de produtos e quocientes: se \lim_{x\to 0} f(x)=L e \lim_{x\to 0} g(x)=M com M\neq 0, então
\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}, \qquad \lim_{x\to 0} (f(x)g(x)) = LM.
Também usamos que constantes podem sair dos limites: \lim_{x\to0} c\cdot h(x)=c\cdot\lim_{x\to0} h(x).

Passo 4

Agora manipulamos a expressão para usar o limite \dfrac{\sin t}{t}. Escrevo a fração de forma a aparecerem termos do tipo \dfrac{\sin(6x)}{6x} e \dfrac{\sin(2x)}{2x}. Parto da expressão original e faço um fatoramento algébrico:
\frac{3\sin(6x)}{\sin(2x)} =3\cdot \frac{\sin(6x)}{\sin(2x)}.
Multiplico e divido convenientemente por 6x e por 2x (isso é multiplicar por 1 de forma útil):
\frac{3\sin(6x)}{\sin(2x)} =3\cdot \frac{\sin(6x)}{6x}\cdot\frac{6x}{2x}\cdot\frac{2x}{\sin(2x)}.
Agora simplifico o fator \dfrac{6x}{2x}:
\frac{6x}{2x}=3,
portanto
\frac{3\sin(6x)}{\sin(2x)} =3\cdot \frac{\sin(6x)}{6x}\cdot 3\cdot\frac{2x}{\sin(2x)} =9\cdot \frac{\sin(6x)}{6x}\cdot\frac{2x}{\sin(2x)}.

Passo 5

Aplicamos os limites aos fatores separados. Usando o teorema de Passo 2 com t=6x e com t=2x, temos
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(6x)}{6x}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{2x}{\sin(2x)}=\left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin(2x)}{2x}\right)^{-1}=1^{-1}=1.
(Expliquei que o segundo é o inverso porque escrevemos \dfrac{2x}{\sin(2x)}; como \dfrac{\sin(2x)}{2x}\to1, o inverso também tende a 1.)
Como o limite do produto é o produto dos limites (Passo 3), temos
\lim_{x\to 0}\frac{3\sin(6x)}{\sin(2x)} =9\cdot 1 \cdot 1 = 9.
Pequena intuição: para x muito pequeno, \sin(6x)\approx 6x e \sin(2x)\approx 2x, então a expressão se aproxima de 3\cdot \dfrac{6x}{2x}=3\cdot 3=9.

Resposta

9

Exercícios relacionados