A equação do movimento de uma partícula é s=\frac{t^{3}}{2}-3 t^{2}+ 2 t-5, onde s é medido em centímetros e t em segundos. pontos)
(a) Qual é o seu deslocamento após 2 segundos?
(b) Qual é a sua velocidade após 3 segundos?
(c) Qual é a sua aceleração após 2 segundos?

Passo 1

O enunciado dá a posição (função horária) da partícula em função do tempo:
s(t)=\frac{t^{3}}{2}-3t^{2}+2t-5,
onde s está em centímetros e t em segundos. As perguntas são:
(a) qual é o seu deslocamento após 2 segundos?
(b) qual é a sua velocidade após 3 segundos?
(c) qual é a sua aceleração após 2 segundos?

Passo 2

Entendendo o que pedem e as quantidades a calcular:
  • “Deslocamento após 2 segundos” vamos interpretar como a variação de posição entre t=0 e t=2, isto é \Delta s = s(2)-s(0).
  • “Velocidade” é a derivada da posição em relação ao tempo, v(t)=\dfrac{ds}{dt}.
  • “Aceleração” é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição, a(t)=\dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d^{2}s}{dt^{2}}.

Passo 3

Calcular s(0). Basta substituir t=0 em s(t):
s(0)=\frac{0^{3}}{2}-3\cdot0^{2}+2\cdot0-5=-5\\ \text{cm}.

Passo 4

Calcular s(2). Substituímos t=2 em s(t) e efetuamos as contas passo a passo:
s(2)=\frac{2^{3}}{2}-3\cdot2^{2}+2\cdot2-5.
Agora calcule cada termo:
\frac{2^{3}}{2}=\frac{8}{2}=4,\qquad -3\cdot2^{2}=-3\cdot4=-12,\qquad 2\cdot2=4.
Somando:
s(2)=4-12+4-5= -9\\ \text{cm}.

Passo 5

Calcular o deslocamento entre t=0 e t=2:
\Delta s=s(2)-s(0) = -9 - (-5) = -4\\ \text{cm}.
Interpretação rápida: o sinal negativo indica que a partícula deslocou-se 4\\ \text{cm} no sentido negativo do eixo (ou seja, 4\\ \text{cm} para “trás” em relação à orientação escolhida).

Passo 6

Agora vamos achar a velocidade v(t). Explico a regra que usamos: a regra do poder (power rule) diz que a derivada de t^{n} é n t^{n-1}. A derivada de uma soma é a soma das derivadas, e a derivada de uma constante é zero. Aplicando isso a cada termo de s(t):
v(t)=\frac{ds}{dt}=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{t^{3}}{2}\right)-\frac{d}{dt}(3t^{2})+\frac{d}{dt}(2t)-\frac{d}{dt}(5).
Calcule cada derivada:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{t^{3}}{2}\right)=\frac{3}{2}t^{2},\qquad \frac{d}{dt}(3t^{2})=6t,\qquad \frac{d}{dt}(2t)=2,\qquad \frac{d}{dt}(5)=0.
Portanto,
v(t)=\frac{3}{2}t^{2}-6t+2.

Passo 7

Calcular a velocidade em t=3. Substituindo t=3 em v(t):
v(3)=\frac{3}{2}\cdot3^{2}-6\cdot3+2.
Compute passo a passo:
3^{2}=9,\qquad \frac{3}{2}\cdot9=\frac{27}{2},\qquad -6\cdot3=-18.
Somando:
v(3)=\frac{27}{2}-18+2=\frac{27}{2}-16=\frac{27-32}{2}=\frac{-5}{2}\\ \text{cm/s}.
Em forma decimal isso é -2{,}5\\ \text{cm/s}. O sinal negativo indica movimento no sentido negativo do eixo naquele instante.

Passo 8

Agora a aceleração a(t). A aceleração é a derivada da velocidade. Usamos novamente a regra do poder para derivar v(t):
a(t)=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{3}{2}t^{2}-6t+2\right).
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{3}{2}t^{2}\right)=3t,\qquad \frac{d}{dt}(-6t)=-6,\qquad \frac{d}{dt}(2)=0.
Logo
a(t)=3t-6.

Passo 9

Calcular a aceleração em t=2. Substituindo t=2 em a(t):
a(2)=3\cdot2-6=6-6=0\\ \text{cm/s}^{2}.
Interpretação: a aceleração nula em t=2 significa que, naquele instante, a velocidade não está mudando — a partícula tem velocidade instantânea constante naquele ponto (mas isso não garante que a velocidade seja zero; de fato aqui a velocidade em t=2 seria v(2)=\frac{3}{2}\cdot4-12+2=6-12+2=-4\\ \text{cm/s}, ou seja, não nula).

Resposta

(a) \Delta s = -4\\ \text{cm}
(b) v(3)=\displaystyle -\frac{5}{2}\\ \text{cm/s}
(c) a(2)=0\\ \text{cm/s}^{2}

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