A equação do movimento de uma partícula é
, onde
é medido em centímetros e
em segundos. pontos)
(a) Qual é o seu deslocamento após 2 segundos?
(b) Qual é a sua velocidade após 3 segundos?
(c) Qual é a sua aceleração após 2 segundos?
(a) Qual é o seu deslocamento após 2 segundos?
(b) Qual é a sua velocidade após 3 segundos?
(c) Qual é a sua aceleração após 2 segundos?
Passo 1
O enunciado dá a posição (função horária) da partícula em função do tempo:
onde
está em centímetros e
em segundos. As perguntas são:
(a) qual é o seu deslocamento após 2 segundos?
(b) qual é a sua velocidade após 3 segundos?
(c) qual é a sua aceleração após 2 segundos?
(a) qual é o seu deslocamento após 2 segundos?
(b) qual é a sua velocidade após 3 segundos?
(c) qual é a sua aceleração após 2 segundos?
Passo 2
Entendendo o que pedem e as quantidades a calcular:
- “Deslocamento após 2 segundos” vamos interpretar como a variação de posição entre
e , isto é . - “Velocidade” é a derivada da posição em relação ao tempo,
. - “Aceleração” é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição,
.
Passo 3
Calcular
. Basta substituir
em
:
Passo 4
Calcular
. Substituímos
em
e efetuamos as contas passo a passo:
Agora calcule cada termo:
Somando:
Passo 5
Calcular o deslocamento entre
e
:
Interpretação rápida: o sinal negativo indica que a partícula deslocou-se
no sentido negativo do eixo (ou seja,
para “trás” em relação à orientação escolhida).
Passo 6
Agora vamos achar a velocidade
. Explico a regra que usamos: a regra do poder (power rule) diz que a derivada de
é
. A derivada de uma soma é a soma das derivadas, e a derivada de uma constante é zero. Aplicando isso a cada termo de
:
Calcule cada derivada:
Portanto,
Passo 7
Calcular a velocidade em
. Substituindo
em
:
Compute passo a passo:
Somando:
Em forma decimal isso é
. O sinal negativo indica movimento no sentido negativo do eixo naquele instante.
Passo 8
Agora a aceleração
. A aceleração é a derivada da velocidade. Usamos novamente a regra do poder para derivar
:
Derivando termo a termo:
Logo
Passo 9
Calcular a aceleração em
. Substituindo
em
:
Interpretação: a aceleração nula em
significa que, naquele instante, a velocidade não está mudando — a partícula tem velocidade instantânea constante naquele ponto (mas isso não garante que a velocidade seja zero; de fato aqui a velocidade em
seria
, ou seja, não nula).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)