Considere o campo vetorial
. Calcule
onde
é a fronteira da região do primeiro quadrante delimitada pelo círculo de equação
e os eixos coordenados, percorrida no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede o valor da integral de linha fechada
onde
é a fronteira da região do primeiro quadrante delimitada pelo círculo de equação
e pelos eixos coordenados, percorrida no sentido anti-horário. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A curva
é a fronteira de uma região que é um quarto de disco de raio (pois ) no primeiro quadrante. - O sentido de percurso é anti-horário (orientação positiva), o que é importante para aplicar o teorema apropriado de troca entre integral de linha e integral dupla.
- O campo vetorial tem componentes
e .
O que se pede: calcular o valor numérico de.
Passo 2
Escolhemos um teorema prático: o teorema que transforma uma integral de linha fechada em uma integral dupla sobre a região interior. Vou explicar ele com calma.
Teorema (fórmula usada): se
é a fronteira suave e positivamente orientada de uma região plana
e
tem derivadas parciais contínuas em
, então
O que essa fórmula diz, em palavras simples: a circulação do campo ao longo da fronteira é igual à integral dupla da “rotação” (o análogo planar do rotacional) do campo sobre a região interior. Aqui a orientação positiva (anti-horário) garante que usamos o sinal como está.
Passo 3
Aplicamos a fórmula identificando
e
no nosso caso:
Agora calculamos as derivadas parciais que entram na fórmula:
porque
é tratado como constante em relação a
e
.
pois
e
.
Portanto o integrando da integral dupla é
Portanto o integrando da integral dupla é
Passo 4
Agora precisamos integrar
sobre a região
que é um quarto de disco de raio
no primeiro quadrante. Para regiões circulares, a maneira mais prática é usar coordenadas polares. Vou explicar a mudança de variáveis e o jacobiano:
- Em coordenadas polares definimos
. - A expressão
. - O elemento de área
se transforma em . Esse fator é o jacobiano da transformação e aparece sempre que trocamos para polares.
Agora os limites da região
: como é o quarto de disco no primeiro quadrante,
Passo 5
Substituímos tudo na integral dupla. O integrando
vira
e
vira
. Assim
Passo 6
Calculamos a integral em
passo a passo:
Agora
. Então
Passo 7
Agora integramos em
:
Passo 8
Interpretação rápida (motivacional): o integrando era negativo, porque
. Esperar um resultado negativo faz sentido físico/geometrico: o campo tem uma circulação total negativa ao longo da fronteira orientada positivamente. Mas o essencial para a prova é saber aplicar corretamente o teorema e fazer a mudança para polares, como fizemos.