Calcule o limite utilizando os teoremas de limites vistos em sala de aula:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{5 x^{4}-4 x+3}{-2 x+3 x^{2}}

Passo 1

O problema pede o seguinte limite quando x tende para -\infty:
\lim_{x\to-\infty} \frac{5x^{4}-4x+3}{-2x+3x^{2}}.
Informações dadas que vamos usar:
  • O numerador é o polinômio 5x^{4}-4x+3.
  • O denominador é o polinômio -2x+3x^{2} (posso reescrever como 3x^{2}-2x).
  • A variável x tende para -\infty (valor muito negativo).

Passo 2

Conceito importante que vamos usar (explicação didática):
Quando temos o limite de uma razão de polinômios quando x\to\pm\infty, os termos de maior potência de x dominam o comportamento. Em outras palavras, para um polinômio
P(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots + a_0,
quando |x| é muito grande o termo a_n x^n domina porque cresce (em valor absoluto) muito mais rápido que os demais termos. Assim, para uma razão de polinômios \dfrac{P(x)}{Q(x)} podemos comparar os graus (maiores potências) de P e Q:
  • Se \deg P > \deg Q, a razão tende para \pm\infty (sinal depende dos coeficientes líderes e da paridade das potências).
  • Se \deg P = \deg Q, o limite é a razão dos coeficientes líderes.
  • Se \deg P < \deg Q, o limite é 0.
Aqui: \deg do numerador = 4 e do denominador = 2. Logo esperamos que o limite seja infinito. Vamos fazer isso rigorosamente manipulando a expressão.

Passo 3

Método prático (dividir por potência de x):
Para simplificar, fatoramos ou dividimos numerador e denominador por x^{2} (a maior potência comum útil, que é o grau do denominador), porque isso deixa termos que tendem a zero quando x\to\pm\infty. Faço a divisão por x^{2} em ambos:
\frac{5x^{4}-4x+3}{-2x+3x^{2}} = \frac{x^{2}\!\left(5x^{2}-\dfrac{4}{x}+\dfrac{3}{x^{2}}\right)}{x^{2}\!\left(3-\dfrac{2}{x}\right)}.
Note que eu peguei x^{2} em evidência tanto no numerador quanto no denominador; isso é permitido porque x\neq 0 para x\to-\infty e nos ajuda a ver o comportamento assintótico.

Passo 4

Simplificação após cancelar x^{2}:
Cancelando x^{2} (pois para x tendendo a -\infty não estamos em x=0) obtemos uma forma mais simples:
\frac{5x^{4}-4x+3}{-2x+3x^{2}} = \frac{5x^{2}-\dfrac{4}{x}+\dfrac{3}{x^{2}}}{3-\dfrac{2}{x}}.
Agora cada termo com \dfrac{1}{x} ou \dfrac{1}{x^{2}} tende a zero quando x\to-\infty.

Passo 5

Aplicando limites termo a termo (teorema dos limites):
Usamos que se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M com M\neq 0, então \lim \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{L}{M}. Aqui, para x\to-\infty:
  • \dfrac{4}{x}\to 0,
  • \dfrac{3}{x^{2}}\to 0,
  • \dfrac{2}{x}\to 0.
Portanto a expressão no numerador fica assintoticamente 5x^{2}+0+0 e o denominador fica 3-0. Assim a expressão equivalente é
\frac{5x^{2}-\dfrac{4}{x}+\dfrac{3}{x^{2}}}{3-\dfrac{2}{x}} \sim \frac{5x^{2}}{3} \quad\text{quando }x\to-\infty.

Passo 6

Determinar o sinal e o comportamento final:
A porção \dfrac{5x^{2}}{3} tende para +\infty quando x\to-\infty, porque x^{2} é sempre não negativo e para x muito negativo x^{2} é grande positivo; os coeficientes 5 e 3 são positivos, então a razão é positiva e cresce sem limite. Logo a expressão original tende para +\infty.
Também podemos ver isso pela comparação de graus: como \deg do numerador (4) é maior que \deg do denominador (2), e os coeficientes líderes ( 5 em x^{4} e 3 em x^{2}) são positivos, a razão se comporta como \dfrac{5}{3}x^{2} para grandes |x|, que diverge para +\infty.

Resposta

+\infty

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