Calcule o limite utilizando os teoremas de limites vistos em sala de aula:
Passo 1
O problema pede o seguinte limite quando
tende para
:
Informações dadas que vamos usar:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
(posso reescrever como ). - A variável
tende para (valor muito negativo).
Passo 2
Conceito importante que vamos usar (explicação didática):
Quando temos o limite de uma razão de polinômios quando , os termos de maior potência de
dominam o comportamento. Em outras palavras, para um polinômio
Quando temos o limite de uma razão de polinômios quando
quando
é muito grande o termo
domina porque cresce (em valor absoluto) muito mais rápido que os demais termos. Assim, para uma razão de polinômios
podemos comparar os graus (maiores potências) de
e
:
- Se
, a razão tende para (sinal depende dos coeficientes líderes e da paridade das potências). - Se
, o limite é a razão dos coeficientes líderes. - Se
, o limite é .
Aqui:
do numerador =
e do denominador =
. Logo esperamos que o limite seja infinito. Vamos fazer isso rigorosamente manipulando a expressão.
Passo 3
Método prático (dividir por potência de
):
Para simplificar, fatoramos ou dividimos numerador e denominador por (a maior potência comum útil, que é o grau do denominador), porque isso deixa termos que tendem a zero quando
. Faço a divisão por
em ambos:
Para simplificar, fatoramos ou dividimos numerador e denominador por
Note que eu peguei
em evidência tanto no numerador quanto no denominador; isso é permitido porque
para
e nos ajuda a ver o comportamento assintótico.
Passo 4
Simplificação após cancelar
:
Cancelando (pois para
tendendo a
não estamos em
) obtemos uma forma mais simples:
Cancelando
Agora cada termo com
ou
tende a zero quando
.
Passo 5
Aplicando limites termo a termo (teorema dos limites):
Usamos que se e
com
, então
. Aqui, para
:
Usamos que se
-
, -
, -
.
Portanto a expressão no numerador fica assintoticamente
e o denominador fica
. Assim a expressão equivalente é
Passo 6
Determinar o sinal e o comportamento final:
A porção tende para
quando
, porque
é sempre não negativo e para
muito negativo
é grande positivo; os coeficientes
e
são positivos, então a razão é positiva e cresce sem limite. Logo a expressão original tende para
.
A porção
Também podemos ver isso pela comparação de graus: como
do numerador (4) é maior que
do denominador (2), e os coeficientes líderes (
em
e
em
) são positivos, a razão se comporta como
para grandes
, que diverge para
.