Calcular a distancia entre as retas r e s nos seguintes casos r x=0 y=z s:y=3 z=2x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a distância entre duas retas, chamadas r e s. Isso entra na área de Geometria Analítica, especificamente sobre retas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar as retas em forma vetorial e usar uma fórmula que calcula a distância entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como as retas estão definidas:
  • Reta r: As equações dadas são $ x = 0 $ e $ y = z $. Isso significa que em qualquer ponto da reta r, o valor de x é 0 e y é igual a z.
  • Reta s: As equações são $ y = 3 $ e $ z = 2x $. Aqui, y é sempre 3 e z é o dobro de x.
Vamos parametrizar essas retas para facilitar a análise.

Passo 3

Parametrizando a reta r:
Como $ y = z $ e $ x = 0 $, podemos usar um parâmetro $ t $ para representar y e z:
y = z
Então, a forma vetorial da reta r fica:
x = 0
Aqui, $ \vec{a} = t $ é um ponto na reta r e $ \vec{u} = x = 0 y = t z = t $ é o vetor diretor.

Passo 4

Parametrizando a reta s:
Com $ y = 3 $ e $ z = 2x $, usamos o parâmetro $ t $ para x:
y = 3
Assim, a forma vetorial da reta s é:
z = 2x
Aqui, $ \vec{b} = t $ é um ponto na reta s e $ \vec{v} = x = t y = 3 z = 2t $ é o vetor diretor.

Passo 5

Agora, queremos encontrar a distância entre as duas retas. Para isso, usamos a seguinte fórmula:
distância = |(b - a) cdot (u times v)||u times v| â
Onde:
  • $ \vec{b} - \vec{a} $ é o vetor que liga um ponto na reta r a um ponto na reta s.
  • $ \vec{u} \times \vec{v} $ é o produto vetorial dos vetores diretores das retas.
  • O ponto no numerador é o módulo do produto escalar entre esses dois vetores.

Passo 6

Vamos calcular cada parte:
  1. Vetor $ \vec{b} - \vec{a} $:
b - a
  1. Produto vetorial $ \vec{u} \times \vec{v} $:
b - a = 0 3 0 - 0 0 0 = 0 3 0
u times v
  1. Produto escalar $ \left(\vec{b} - \vec{a}\right) \cdot \left(\vec{u} \times \vec{v}\right) $:
u = 0 1 1 , v = 1 0 2
  1. Módulo de $ \vec{u} \times \vec{v} $:
u times v = i & j & k 0 & 1 & 1 1 & 0 & 2 = i(1 cdot 2 - 1 cdot 0) - j(0 cdot 2 - 1 cdot 1) + k(0 cdot 0 - 1 cdot 1) = 2 1 -1

Passo 7

Agora, aplicando na fórmula:
distância = |3|raiz6 = 3raiz6 = 3 raiz66 = raiz62 â

Resposta

A distância entre as retas r e s é $ \frac{\sqrt{6}}{2} $ unidades.

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