Calcular a distancia entre as retas r e s nos seguintes casos r x=0 y=z s:y=3 z=2x
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a distância entre duas retas, chamadas r e s. Isso entra na área de Geometria Analítica, especificamente sobre retas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender como representar as retas em forma vetorial e usar uma fórmula que calcula a distância entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como as retas estão definidas:
Reta r: As equações dadas são $ x = 0 $ e $ y = z $. Isso significa que em qualquer ponto da reta r, o valor de x é 0 e y é igual a z.
Reta s: As equações são $ y = 3 $ e $ z = 2x $. Aqui, y é sempre 3 e z é o dobro de x.
Vamos parametrizar essas retas para facilitar a análise.
Passo 3
Parametrizando a reta r:
Como $ y = z $ e $ x = 0 $, podemos usar um parâmetro $ t $ para representar y e z:
Então, a forma vetorial da reta r fica:
x = 0
Aqui, $ \vec{a} = t $ é um ponto na reta r e $ \vec{u} = x = 0 y = t z = t $ é o vetor diretor.
Passo 4
Parametrizando a reta s:
Com $ y = 3 $ e $ z = 2x $, usamos o parâmetro $ t $ para x:
y = 3
Assim, a forma vetorial da reta s é:
z = 2x
Aqui, $ \vec{b} = t $ é um ponto na reta s e $ \vec{v} = x = t y = 3 z = 2t $ é o vetor diretor.
Passo 5
Agora, queremos encontrar a distância entre as duas retas. Para isso, usamos a seguinte fórmula:
distância = |(b - a) cdot (u times v)||u times v| â
Onde:
$ \vec{b} - \vec{a} $ é o vetor que liga um ponto na reta r a um ponto na reta s.
$ \vec{u} \times \vec{v} $ é o produto vetorial dos vetores diretores das retas.
O ponto no numerador é o módulo do produto escalar entre esses dois vetores.