O tamanho de uma população de peixes pode ser modelado pela fórmula
pn+1=b pna+pn
onde pn é o tamanho da população de peixes depois de n anos e a e b são constantes positivas que dependem da espécie e de seu habitat. Suponha que a população no ano 0 seja p0>0.
(a) Mostre que se pn é convergente, então os únicos valores possíveis para seu limite são 0 e b-a.
(b) Mostre que pn+1<(b / a) pn.
(c) Use o item (b) para mostrar que, se a>b, então lim n infty pn=0; em outras palavras, a população se extingue.
(d) Agora suponha que a<b. Mostre que, se p0<b-a, então pn é crescente e 0<pn<b-a. Mostre também que, se p0>b-a, então pn é decrescente e pn>b-a. Deduza que se a<b, então lim n infty pn=b-a.

Passo 1

O enunciado nos dá a recorrência
pn+1 = b,pna + pn,
com p0>0 e a,b>0. Precisamos usar limites e propriedades de sequências (pontos fixos, monotonia e limites) para mostrar:
  • (a) se pn converge, seu limite só pode ser 0 ou b - a;
  • (b) pn+1 < tfracba,pn;
  • (c) se a>b então pnto0;
  • (d) se a<b, estudar monotonia e limites levando a lim pn=b-a.

Passo 2

Suponha que pn converge a L. Tirando limite em
pn+1 = b,pna + pn
vem
L = b,La + L
Multiplicando por a+L obtemos
L(a+L) = b,L Longrightarrow L,(a + L - b)=0
Logo ou L=0 ou a + L - b=0, isto é, L = b - a.

Passo 3

Para comparar pn+1 e tfracba,pn note que a + pn>a, então
pn+1 = b,pna + pn < b,pna = ba,pn

Passo 4

Se a>b então tfracba<1. Da desigualdade do passo anterior, por indução segue
pn < l(tfracbar)^n p0
Como l(tfracbar)^nto0, temos pnto0. Ou seja, a população se extingue.

Passo 5

Agora a<b e b-a>0. Calcule
pn+1-pn = b,pna + pn - pn = pn,b - a - pna + pn
Se pn<b-a então b-a-pn>0 e o quociente é positivo, logo pn é crescente. Ainda, para ver que fica sempre abaixo de b-a, note que
pn+1 < b - a Long<=ftrightarrow b,pn < (b-a)(a + pn)
que se reduz a a(b-a-pn)>0, verdadeiro quando pn<b-a.

Passo 6

Se em vez disso pn>b-a então b-a-pn<0 e pn é decrescente, permanecendo acima de b-a por passo semelhante. Em ambos os casos (crescente e limitada ou decrescente e limitada) a sequência converge. Pelo passo 2 o único limite possível maior que zero é b-a.

Resposta

(a) Os únicos limites fixos são 0 e b-a.
(b) pn+1<tfracba,pn
(c) Se a>b, então limntoinftypn=0.
(d) Se a<b, então limntoinftypn=b-a.

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