O tamanho de uma população de peixes pode ser modelado pela fórmula
onde
é o tamanho da população de peixes depois de
anos e
e
são constantes positivas que dependem da espécie e de seu habitat. Suponha que a população no ano 0 seja
.
(a) Mostre que se
é convergente, então os únicos valores possíveis para seu limite são 0 e
.
(b) Mostre que
.
(c) Use o item (b) para mostrar que, se
, então
; em outras palavras, a população se extingue.
(d) Agora suponha que
. Mostre que, se
, então
é crescente e
. Mostre também que, se
, então
é decrescente e
. Deduza que se
, então
.
(a) Mostre que se
(b) Mostre que
(c) Use o item (b) para mostrar que, se
(d) Agora suponha que
Passo 1
O enunciado nos dá a recorrência
com
e
. Precisamos usar limites e propriedades de sequências (pontos fixos, monotonia e limites) para mostrar:
- (a) se
converge, seu limite só pode ser ou ; - (b)
; - (c) se
então ; - (d) se
, estudar monotonia e limites levando a .
Passo 2
Suponha que
converge a
. Tirando limite em
vem
Multiplicando por
obtemos
Logo ou
ou
, isto é,
.
Passo 3
Para comparar
e
note que
, então
Passo 4
Se
então
. Da desigualdade do passo anterior, por indução segue
Como
, temos
. Ou seja, a população se extingue.
Passo 5
Agora
e
. Calcule
Se
então
e o quociente é positivo, logo
é crescente. Ainda, para ver que fica sempre abaixo de
, note que
que se reduz a
, verdadeiro quando
.
Passo 6
Se em vez disso
então
e
é decrescente, permanecendo acima de
por passo semelhante. Em ambos os casos (crescente e limitada ou decrescente e limitada) a sequência converge. Pelo passo 2 o único limite possível maior que zero é
.
Resposta
(a) Os únicos limites fixos são
e
.
(b)
(c) Se , então
.
(d) Se , então
.
(b)
(c) Se
(d) Se