Calcule os limites.
lim x infty(x+pix-e)^x

Passo 1

O enunciado pede
limxtoinftyl(x+pi,x-e,r)^x
que é uma forma indeterminada do tipo 1^infty. Vamos usar a técnica de transformar em exponencial via o logaritmo.

Passo 2

Reescrevemos a base como 1 mais algo que tende a zero. Note que
x+pi,x-e, =(x-e)+(pi+e),x-e, =1+pi+e,x-e,

Passo 3

Chame a função de interesse de f(x). Então
f(x) =l(1+pi+ex-er)^x =expl[xlnl(1+tfracpi+ex-er)r]
Basta analisar o limite do expoente
,xlnl(1+(pi+e)/(x-e)r).

Passo 4

Para xtoinfty definimos
de<a=tfracpi+ex-eto0. Usando a expansão
ln(1+de<a)=de<a-tfrac12de<a^2+o(de<a^2) vem
xln(1+de<a) =xl(de<a-tfrac12de<a^2+o(de<a^2)r) =xde<a+o(1)
e como ,xde<a=(pi+e),x/(x-e)topi+e, concluímos que
limxtoinftyxlnl(1+tfracpi+ex-er) =pi+e

Passo 5

Voltando ao f(x), temos
limxtoinftyf(x) =expl(limxtoinftyxln(cdots)r) =exp(pi+e) =e^pi+e

Resposta

e^pi+e

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