Determine os pontos da superfície x^2 y^2 z^2=1 que estão mais próximos da origem.

Passo 1

A questão pede para encontrar os pontos da superfície x^2 y^2 z^2 = 1 que ficam mais próximos da origem, isto é, que minimizam a distância raizx^2+y^2+z^2. Vamos usar multiplicadores de Lagrange para resolver.

Passo 2

Definimos a função objetivo f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 e a restrição g(x,y,z)=x^2 y^2 z^2-1=0. As condições de Lagrange exigem
nabla f=(2x,2y,2z)=lambda,(2xy^2z^2,;2x^2yz^2,;2x^2y^2z)=lambda,nabla g

Passo 3

Das igualdades em cada coordenada obtemos
2x=2lambda x y^2 z^2, 2y=2lambda x^2y z^2, 2z=2lambda x^2y^2 z
Como x,y,zneq0, dividindo cada uma por 2x, 2y e 2z chegamos a
1=lambda y^2z^2, 1=lambda x^2z^2, 1=lambda x^2y^2
e daí x^2=y^2=z^2.

Passo 4

Substituindo x^2=y^2=z^2=t^2 na restrição x^2y^2z^2=1
(t^2)^3=t^6=1Rightarrow t^2=1Rightarrow|x|=|y|=|z|=1

Passo 5

Logo, os pontos candidatos são todos aqueles em que x,y,z são ±1. Verificamos que aí f=1+1+1=3 e a distância raiz3 realmente é mínima.

Passo 6

Portanto, os pontos da superfície mais próximos da origem são todos os vértices do cubo de aresta 2 centrado na origem.

Resposta

Os pontos são (pm1,pm1,pm1).

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