Determine o conjunto de pontos em que a função é contínua.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) f(x, y)= x yx^2+x y+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Passo 1
O enunciado pede para determinar o conjunto de pontos onde cada função de duas variáveis é contínua. Vamos usar que polinômios são contínuos em toda parte, funções racionais p/q são contínuas onde qneq0, raizcdot é contínua em seu domínio [0,infty) e ln(cdot) é contínua para argumentos >0. Nos casos de definição por partes, precisamos também verificar a continuidade no ponto de junção.
Passo 2
Considere
f(x,y)=x^2+y^2+1x^2+y^2-1
Aqui o numerador e o denominador são polinômios, logo contínuos em toda parte, mas a razão só faz sentido quando o denominador não se anula. Assim o domínio é
(x,y)mid x^2+y^2-1neq0,
isto é, todos os pontos fora da circunferência x^2+y^2=1. Em cada ponto desse domínio f é contínua.
Passo 3
Considere
f(x,y)=raizx+y-raizx-y
Para que as raízes sejam reais, precisamos de
x+y>=0 e x-y>=0,
ou seja,
x>= y e x>= -y Longrightarrow x>=|y|
Nesse conjunto f é combinação de funções contínuas (raizcdot e soma) e, portanto, contínua para todos (x,y) tais que x>=|y|.
Passo 4
Considere
f(x,y)=ln(2x+3y)
O logaritmo natural exige argumento positivo:
2x+3y>0
No semiplano definido por 2x+3y>0, a função é contínua (pois ln é contínua em (0,infty) e 2x+3y é polinomial).
Para (x,y)neq(0,0) o denominador x^2+xy+y^2 não zera (a forma quadrática só anula em (0,0)), então f é contínua em todo ponto não-nulo. Em (0,0), aproximando por y=0 dá 0, mas por y=x dá
xcdot xx^2+x^2+x^2=13,
ou seja, limites diferentes e não há continuidade em (0,0).
Resposta
(a) Contínua para .
(b) Contínua para .
(c) Contínua para .
(d) Contínua em ; descontinua em .
(e) Contínua em ; descontinua em .