Calcule os limites:
lim t 0(e^t-1t, raiz1+t-1t, et+t).

Passo 1

O enunciado pede três limites quando tto0:
  1. e^t-1t, 2) raiz1+t-1t e 3) et+t.
    Vamos usar expansão em série (ou definição de derivada) nos dois primeiros e análise de divergência no terceiro.

Passo 2

Para
limtto0e^t-1t,
lembre que a expansão de Taylor de e^t em torno de 0 é
e^t = 1 + t + tfract^22 + cdots
Subtraindo 1 e dividindo por t temos
e^t-1t = t + tfract^22 + cdotst = 1 + tfract2 + cdots ;xrightarrowtto0; 1

Passo 3

Para
limtto0raiz1+t-1t,
usamos a racionalização:
raiz1+t-1t = raiz1+t-1t,cdotraiz1+t+1raiz1+t+1 = (1+t)-1tl(raiz1+t+1r) = 1raiz1+t+1
Quando tto0, raiz1+tto1, logo
1raiz1+t+1;xrightarrowtto0;12

Passo 4

Para
limtto0et+t note que
et+t=e2t
À medida que tto0, o denominador 2tto0, e o quociente em módulo cresce sem limite. Além disso, se tto0^+ vai a +infty e se tto0^- vai a -infty. Portanto não há limite finito.

Resposta

limtto0e^t-1t=1
limtto0raiz1+t-1t=tfrac12
limtto0et+t não existe (diverge para pminfty).

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