Seja B=(1,0,0),(0, raiz22, raiz22),(0,-raiz22, raiz22) uma base ortonormal de R^3. Considere
A=[ccc 1 & 0 & 0 0 & raiz22 & raiz22 0 & -raiz22 & raiz22 ]
Determine a expressão da isometria T tal que [T]B=A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma base ortonormal B de R^3 e uma matriz A . A gente precisa encontrar a expressão da isometria T tal que a matriz de T na base B é igual a A . Pra resolver isso, vamos precisar usar conceitos de bases ortonormais, matrizes de transformação linear e como conectar essas coisas para achar a expressão da isometria.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa ter a matriz de uma transformação linear T em uma base B . A matriz [T]B contém as coordenadas das imagens dos vetores da base B após aplicarmos T . Ou seja, se B = b1, b2, b3 , então:
[T]B = [T(b1)]B & [T(b2)]B & [T(b3)]B

Passo 3

Sabemos que B é uma base ortonormal, ou seja, os vetores são mutuamente ortogonais e de norma 1. Isso facilita porque a matriz de mudança de base B é ortogonal, então B^-1 = B^T . A transformação T pode ser relacionada à matriz A pela fórmula:
T = B A B^T

Passo 4

Vamos calcular B A B^T . Primeiro, vamos escrever a matriz B e sua transposta B^T :
B = 1 & 0 & 0 0 & raiz22 & -raiz22 0 & raiz22 & raiz22 , B^T = 1 & 0 & 0 0 & raiz22 & raiz22 0 & -raiz22 & raiz22

Passo 5

Agora, vamos multiplicar A por B^T :
A B^T = 1 & 0 & 0 0 & raiz22 & raiz22 0 & -raiz22 & raiz22 1 & 0 & 0 0 & raiz22 & raiz22 0 & -raiz22 & raiz22
Fazendo a multiplicação passo a passo:
  • A primeira linha de A vezes as colunas de B^T :
1 cdot 1 + 0 cdot 0 + 0 cdot 0 = 1 1 cdot 0 + 0 cdot raiz22 + 0 cdot -raiz22 = 0 1 cdot 0 + 0 cdot raiz22 + 0 cdot raiz22 = 0
  • A segunda linha de A vezes as colunas de B^T :
0 cdot 1 + raiz22 cdot 0 + raiz22 cdot 0 = 0 0 cdot 0 + raiz22 cdot raiz22 + raiz22 cdot -raiz22 = 24 - 24 = 0 0 cdot 0 + raiz22 cdot raiz22 + raiz22 cdot raiz22 = 24 + 24 = 1
  • A terceira linha de A vezes as colunas de B^T :
0 cdot 1 + -raiz22 cdot 0 + raiz22 cdot 0 = 0 0 cdot 0 + -raiz22 cdot raiz22 + raiz22 cdot -raiz22 = -24 - 24 = -1 0 cdot 0 + -raiz22 cdot raiz22 + raiz22 cdot raiz22 = -24 + 24 = 0
Então, A B^T = 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & -1 & 0 .

Passo 6

Agora, multiplicamos B por A B^T :
T = B A B^T = 1 & 0 & 0 0 & raiz22 & -raiz22 0 & raiz22 & raiz22 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & -1 & 0
Fazendo a multiplicação:
  • Primeira linha de B vezes colunas de A B^T :
1 cdot 1 + 0 cdot 0 + 0 cdot 0 = 1 1 cdot 0 + 0 cdot 0 + 0 cdot -1 = 0 1 cdot 0 + 0 cdot 1 + 0 cdot 0 = 0
  • Segunda linha de B vezes colunas de A B^T :
0 cdot 1 + raiz22 cdot 0 + -raiz22 cdot 0 = 0 0 cdot 0 + raiz22 cdot 0 + -raiz22 cdot -1 = raiz22 0 cdot 0 + raiz22 cdot 1 + -raiz22 cdot 0 = raiz22
  • Terceira linha de B vezes colunas de A B^T :
0 cdot 1 + raiz22 cdot 0 + raiz22 cdot 0 = 0 0 cdot 0 + raiz22 cdot 0 + raiz22 cdot -1 = -raiz22 0 cdot 0 + raiz22 cdot 1 + raiz22 cdot 0 = raiz22
Então, T = 1 & 0 & 0 0 & raiz22 & raiz22 0 & -raiz22 & raiz22 .

Resposta

A isometria T é dada por:
T(x) = 1 & 0 & 0 0 & raiz22 & raiz22 0 & -raiz22 & raiz22 x

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