Determine a expressão da isometria T tal que [T]B=A.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma base ortonormal B de R^3 e uma matriz A . A gente precisa encontrar a expressão da isometria T tal que a matriz de T na base B é igual a A . Pra resolver isso, vamos precisar usar conceitos de bases ortonormais, matrizes de transformação linear e como conectar essas coisas para achar a expressão da isometria.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa ter a matriz de uma transformação linear T em uma base B . A matriz [T]B contém as coordenadas das imagens dos vetores da base B após aplicarmos T . Ou seja, se B = b1, b2, b3 , então:
[T]B = [T(b1)]B & [T(b2)]B & [T(b3)]B
Passo 3
Sabemos que B é uma base ortonormal, ou seja, os vetores são mutuamente ortogonais e de norma 1. Isso facilita porque a matriz de mudança de base B é ortogonal, então B^-1 = B^T . A transformação T pode ser relacionada à matriz A pela fórmula:
T = B A B^T
Passo 4
Vamos calcular B A B^T . Primeiro, vamos escrever a matriz B e sua transposta B^T :