Mostre que as matrizes A=(cc1 & 1 / y y & 1), onde y é um número real não nulo, verificam a equação X^2-2 X=O

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente mostrar que a matriz A = 1 & 1y y & 1 , onde y é um número real diferente de zero, satisfaz a equação A^2 - 2A = O (a matriz nula). Isso está relacionado com multiplicação de matrizes e propriedades delas. Vamos precisar multiplicar a matriz A por ela mesma e depois fazer umas subtrações básicas de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular A^2 , que significa multiplicar a matriz A por ela mesma. Lembre-se que, para multiplicar duas matrizes 2x2, a fórmula é:
A times B = a11b11 + a12b21 & a11b12 + a12b22 a21b11 + a22b21 & a21b12 + a22b22
Aplicando isso para A times A :
A^2 = 1 times 1 + 1y times y & 1 times 1y + 1y times 1 y times 1 + 1 times y & y times 1y + 1 times 1

Passo 3

Vamos simplificar cada elemento da matriz resultante:
  • Elemento (1,1):
1 times 1 + 1y times y = 1 + 1 = 2
  • Elemento (1,2):
1 times 1y + 1y times 1 = 1y + 1y = 2y
  • Elemento (2,1):
y times 1 + 1 times y = y + y = 2y
  • Elemento (2,2):
y times 1y + 1 times 1 = 1 + 1 = 2
Então, A^2 fica:
A^2 = 2 & 2y 2y & 2

Passo 4

Agora, vamos calcular 2A . Basta multiplicar cada elemento da matriz A por 2:
2A = 2 times 1 & 1y y & 1 = 2 & 2y 2y & 2

Passo 5

Finalmente, vamos subtrair 2A de A^2 :
A^2 - 2A = 2 & 2y 2y & 2 - 2 & 2y 2y & 2 = 0 & 0 0 & 0

Resposta

Assim, mostramos que A^2 - 2A = O , ou seja, a matriz A satisfaz a equação dada.

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