Calcule os limites abaixo:
lim x 2 raiz3 x^2-8-xx-2.

Passo 1

Resumo do exercício: Precisamos calcular o limite quando x tende a 2 da expressão raiz3x^2-8 - xx - 2. Isso envolve o conteúdo de limites e manipulação algébrica para resolver expressões indeterminadas. Vamos precisar racionalizar o numerador para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, observamos que substituindo x = 2 na expressão original, obtemos 00, que é uma forma indeterminada. Para resolver isso, vamos racionalizar o numerador multiplicando e dividindo pela forma conjugada, que é raiz3x^2-8 + x. Isso nos ajudará a eliminar a raiz do numerador.

Passo 3

Multiplicamos o numerador e o denominador por raiz3x^2-8 + x:
raiz3x^2-8 - xx - 2 times raiz3x^2-8 + xraiz3x^2-8 + x = (raiz3x^2-8)^2 - x^2(x - 2)(raiz3x^2-8 + x)

Passo 4

Simplificamos o numerador usando a diferença de quadrados:
(raiz3x^2-8)^2 - x^2 = 3x^2 - 8 - x^2 = 2x^2 - 8
Então, a expressão fica:
2x^2 - 8(x - 2)(raiz3x^2-8 + x)

Passo 5

Fatoramos o numerador:
2x^2 - 8 = 2(x^2 - 4) = 2(x - 2)(x + 2)
Agora, a expressão é:
2(x - 2)(x + 2)(x - 2)(raiz3x^2-8 + x)

Passo 6

Cancelamos o fator (x - 2) no numerador e denominador:
2(x + 2)raiz3x^2-8 + x

Passo 7

Agora, podemos substituir x = 2 diretamente na expressão simplificada:
2(2 + 2)raiz3(2)^2 - 8 + 2 = 2 times 4raiz12 - 8 + 2 = 82 + 2 = 84 = 2

Resposta

O limite é igual a 2.

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