Em uma coleta de valores amostrais em experimentos para geração de bases de dados foi registrado o tempo de uso e o respectivo índice de desgate de uma peça.
(Tempo de uso em dias ) 60 ; 90 ; 120 ; 150
(Índice de desgaste)0.05 ; 0.09 ; 0.18 ; 0.23
Considerando os dados acima, faça uma estimativa de quando a peça deverá apresentar um índice de desgaste =0.20

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é descobrir em quantos dias uma peça vai atingir um índice de desgaste de 0.20. Para isso, temos dados de tempos de uso e os respectivos índices de desgaste. O conteúdo que vamos usar aqui é o teorema da interpolação que ajuda a estimar valores intermediários entre os dados que já temos. Precisamos identificar entre quais dois pontos o índice de desgaste de 0.20 está inserido e então calcular o tempo correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos listar os dados que temos:
  • Tempo de uso (dias): 60, 90, 120, 150
  • Índice de desgaste: 0.05, 0.09, 0.18, 0.23
Observando os índices de desgaste, vemos que 0.20 está entre 0.18 (quando o tempo é 120 dias) e 0.23 (quando o tempo é 150 dias). Então, vamos usar esses dois pontos para fazer a interpolação.

Passo 3

A fórmulas da interpolação linear é:
y = y1 + (y2 - y1)(x2 - x1) times (x - x1)
Mas, como queremos encontrar x para um determinado y, podemos rearranjar a fórmula para:
x = x1 + (x2 - x1)(y2 - y1) times (y - y1)
Aqui:
  • x1 = 120 dias
  • y1 = 0.18
  • x2 = 150 dias
  • y2 = 0.23
  • y = 0.20 (o índice que queremos)

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
x = 120 + (150 - 120)(0.23 - 0.18) times (0.20 - 0.18)
Calculando passo a passo:
x = 120 + 300.05 times 0.02
x = 120 + 600 times 0.02
x = 120 + 12
x = 132

Resposta

A peça deverá apresentar um índice de desgaste de 0.20 após 132 dias de uso.

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