Determine o limite na forma de uma fração irredutível
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que pede para encontrar o limite da expressão
quando
se aproxima de 0. A gente vai precisar usar conceitos de limites e expansão em série de Taylor para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece quando
se aproxima de 0. Sabemos que:
Isso é uma aproximação da série de Taylor para o cosseno perto de 0.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a raiz cúbica de
, ou seja,
. Usando a aproximação que fizemos:
Para simplificar isso, podemos usar a expansão em série de Taylor para a raiz cúbica:
onde
é uma quantidade pequena. No nosso caso,
, então:
Passo 4
Agora, substituímos essa aproximação de volta na nossa expressão original:
Passo 5
Então, nossa expressão de limite fica: