Calcule os limites abaixo
lim (x, y) (2,-4) y+4x^2 y-x y+4 x^2-4 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
lim(x,y)to(2,-4) y+4x^2y - x y + 4x^2 - 4x
O conteúdo aqui é de limite de função de duas variáveis, e vamos precisar usar fatoração e cancelamento de termos para resolver o indeterminado.

Passo 2

Primeiro, tentamos a substituição direta:
y+4 to -4 + 4 = 0,
x^2y - x y + 4x^2 - 4x to 2^2cdot(-4) - 2cdot(-4) + 4cdot2^2 - 4cdot2 = -16 + 8 + 16 - 8 = 0
Então o limite é do tipo tfrac00, indeterminado.

Passo 3

Para resolver, fatoramos o denominador. Observe que
x^2y - x y + 4x^2 - 4x = x y(x - 1) + 4x(x - 1) = (x - 1)l(xy + 4xr) = (x-1)x(y+4)

Passo 4

Assim a expressão fica, para (x,y)neq(2,-4),
y+4(x-1)x(y+4) = 1(x-1)x

Passo 5

Agora o limite não é mais indeterminado. Basta substituir (x,y)to(2,-4) em tfrac1(x-1)x:
1(2-1)cdot 2 = 12

Resposta

12

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