Calcule os limites abaixo:
[1 \mathrm{pt}] \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{x^{2}-12 x-8}}{-3 x-2}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-12x-8}}{-3x-2}.
O conteúdo aqui é o estudo de limites no infinito de uma raiz quadrada de um polinômio dividido por um polinômio de primeiro grau. Vamos usar a ideia de fatorar x^{2} dentro da raiz e observar o sinal de x quando x\to -\infty.

Passo 2

Fatoramos x^{2} dentro da raiz:
\sqrt{x^{2}-12x-8} =|x|\sqrt{1-\frac{12}{x}-\frac{8}{x^{2}}}.

Passo 3

Como x\to -\infty temos x<0, logo |x|=-x. Assim
\sqrt{x^{2}-12x-8} =-x\sqrt{1-\frac{12}{x}-\frac{8}{x^{2}}}.

Passo 4

Escrevemos o quociente dividindo numerador e denominador por -x:
\frac{\sqrt{x^{2}-12x-8}}{-3x-2} = \frac{-x\sqrt{1-\frac{12}{x}-\frac{8}{x^{2}}}}{-3x\Bigl(1+\frac{2}{3x}\Bigr)} = \frac{1}{3}\;\frac{\sqrt{1-\frac{12}{x}-\frac{8}{x^{2}}}}{1+\frac{2}{3x}}.

Passo 5

Agora tomamos o limite x\to -\infty. Observamos que
\sqrt{1-\frac{12}{x}-\frac{8}{x^{2}}}\to 1 \quad\text{e}\quad 1+\frac{2}{3x}\to 1.
Portanto
\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-12x-8}}{-3x-2} =\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1} =\frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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