Nos Exercícios de 27 a 30, determine se o limite existe. lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y^{4}}{x^{4}+y^{4}}\'
Passo 1
O enunciado pede para estudar o limite de
f(x,y)=\frac{x^{2}y^{4}}{x^{4}+y^{4}}
quando (x,y)\to(0,0). O conteúdo principal aqui é análise de limites em duas variáveis e uso de desigualdades para mostrar que a função tende a um valor único ao aproximar-se da origem.
Passo 2
Analisamos primeiro as trajetórias mais simples, as abas:
– Se y=0, então
f(x,0)=\frac{x^{2}\cdot0^{4}}{x^{4}+0^{4}}=0.
– Se x=0, então
f(0,y)=\frac{0^{2}\,y^{4}}{0^{4}+y^{4}}=0.
Em ambos os casos o limite é 0.
Passo 3
Agora olhamos uma reta genérica y=mx. Substituindo na expressão: