Nos Exercícios de 27 a 30, determine se o limite existe.
lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y^{4}}{x^{4}+y^{4}}\'

Passo 1

O enunciado pede para estudar o limite de
f(x,y)=\frac{x^{2}y^{4}}{x^{4}+y^{4}}
quando (x,y)\to(0,0). O conteúdo principal aqui é análise de limites em duas variáveis e uso de desigualdades para mostrar que a função tende a um valor único ao aproximar-se da origem.

Passo 2

Analisamos primeiro as trajetórias mais simples, as abas:
– Se y=0, então
f(x,0)=\frac{x^{2}\cdot0^{4}}{x^{4}+0^{4}}=0.
– Se x=0, então
f(0,y)=\frac{0^{2}\,y^{4}}{0^{4}+y^{4}}=0.
Em ambos os casos o limite é 0.

Passo 3

Agora olhamos uma reta genérica y=mx. Substituindo na expressão:
f(x,mx) =\frac{x^{2}(mx)^{4}}{x^{4}+(mx)^{4}} =\frac{m^{4}x^{6}}{x^{4}(1+m^{4})} =\frac{m^{4}}{1+m^{4}}\,x^{2}.
Quando x\to0, isso vai a 0. Logo todas as retas passam para o valor 0.

Passo 4

Para garantir que não exista outra trajetória que dê resultado diferente, usamos uma desigualdade global. Pelas médias aritmética e geométrica temos
\frac{x^{4}+y^{4}}{2}\ge\sqrt{x^{4}y^{4}}=x^{2}y^{2},
logo
x^{4}+y^{4}\ge2\,x^{2}y^{2}.
Daí
\biggl|\frac{x^{2}y^{4}}{x^{4}+y^{4}}\biggr| \le\frac{x^{2}y^{4}}{2\,x^{2}y^{2}} =\frac{y^{2}}{2}.
Como \frac{y^{2}}{2}\to0 quando (x,y)\to(0,0), pelo Teorema do Confronto concluímos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}y^{4}}{x^{4}+y^{4}}=0.

Resposta

O limite existe e vale 0.

Exercícios relacionados