Calcule os limites abaixo:
[\mathbf{1} \mathbf{~ p t}] \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}+3 x^{2}-10 x}{-x^{4}+2 x^{3}+4 x-8}

Passo 1

O enunciado pede \lim_{x\to2}\frac{x^3+3x^2-10x}{-x^4+2x^3+4x-8}. É um limite de função racional que, ao substituir x=2, gera a forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Para resolver, vamos fatorar ambos os polinômios e cancelar o fator comum (x-2).

Passo 2

Substituindo x=2 no numerador:
2^3 + 3\cdot2^2 - 10\cdot2 = 8 + 12 - 20 = 0.
No denominador:
-2^4 + 2\cdot2^3 + 4\cdot2 - 8 = -16 + 16 + 8 - 8 = 0.
Portanto temos indeterminação \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Fatore o numerador:
x^3 + 3x^2 - 10x = x\,(x^2 + 3x - 10) = x\,(x+5)\,(x-2).

Passo 4

Fatore o denominador:
-x^4 + 2x^3 + 4x - 8 = -\bigl(x^4 - 2x^3 - 4x + 8\bigr) = -\bigl[(x^3)(x-2) - 4(x-2)\bigr] = -(x-2)\,(x^3-4).

Passo 5

Cancelando o fator (x-2), a expressão simplifica para
-\frac{x\,(x+5)}{x^3-4},
que é contínua em x=2. Agora basta substituir:
-\frac{2\cdot7}{2^3 - 4} = -\frac{14}{8 - 4} = -\frac{14}{4} = -\frac{7}{2}.

Resposta

-\tfrac{7}{2}

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