Calcule o jacobiano da transformação dada por
x=x(r, \theta)=r \cos (\theta), \quad y=y(r, \theta)=r \operatorname{sen}(\theta)

Passo 1

O enunciado pede o jacobiano da transformação
x = x(r,\theta) = r \cos(\theta), \quad y = y(r,\theta) = r \sin(\theta).
O conteúdo é cálculo de derivadas parciais e determinante de matriz para obter o fator de escala em mudança de variáveis.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de x e y em relação a r e \theta:
\frac{\partial x}{\partial r} = \cos(\theta), \quad \frac{\partial x}{\partial \theta} = -r \sin(\theta),
\frac{\partial y}{\partial r} = \sin(\theta), \quad \frac{\partial y}{\partial \theta} = r \cos(\theta).

Passo 3

O jacobiano J é o determinante da matriz das derivadas parciais:
J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\[-6pt] \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos(\theta) & -r\sin(\theta) \\[-6pt] \sin(\theta) & r\cos(\theta) \end{vmatrix}.
Calculando o determinante:
J = \cos(\theta)\bigl(r\cos(\theta)\bigr) \; - \; \bigl(-r\sin(\theta)\bigr)\sin(\theta) = r\bigl(\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)\bigr) = r.]

Resposta

O jacobiano da transformação é r.

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