Calcule os limites abaixo.
(b) lim x 1 1-xraiz5-x^2-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
lim x 1 1 - xraiz5 - x^2 - 2
Aqui, estamos lidando com limites, que é um conceito fundamental em Cálculo. Para resolver esse tipo de limite, muitas vezes usamos técnicas como a racionalização. Vamos ver como isso funciona passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando substituímos $ x = 1 $ diretamente na expressão:
  • No numerador: $ 1 - 1 = 0 $
  • No denominador: $ \sqrt{5 - 1^{2}} - 2 = \sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0 $
Então, temos uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $. Isso significa que precisamos usar uma técnica para simplificar a expressão e encontrar o limite.

Passo 3

Uma técnica útil para resolver limites que resultam em $ \frac{0}{0} $ é racionalizar o denominador. Isso envolve multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do denominador. A conjugada de $ \sqrt{5 - x^{2}} - 2 $ é $ \sqrt{5 - x^{2}} + 2 $.
Vamos multiplicar:
00

Passo 4

Agora, no denominador, aplicamos a diferença de quadrados:
(raiz5 - x^2 - 2)(raiz5 - x^2 + 2) = (raiz5 - x^2)^2 - (2)^2 = (5 - x^2) - 4 = 1 - x^2
Então, a expressão fica:
(1 - x)(raiz5 - x^2 + 2)1 - x^2

Passo 5

Perceba que $ 1 - x^{2} $ pode ser fatorado como $ (1 - x)(1 + x) $. Assim, temos:
1 - x^2
Agora, podemos cancelar o termo $ (1 - x) $ no numerador e denominador:
(1 - x)(1 + x)

Passo 6

Agora, podemos substituir $ x = 1 $ diretamente, já que não há mais indeterminação:
x = 1

Resposta

O limite é igual a 2.

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