Calcule os limites abaixo.
(b)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com limites, que é um conceito fundamental em Cálculo. Para resolver esse tipo de limite, muitas vezes usamos técnicas como a racionalização. Vamos ver como isso funciona passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece quando substituímos $ x = 1 $ diretamente na expressão:
- No numerador: $ 1 - 1 = 0 $
- No denominador: $ \sqrt{5 - 1^{2}} - 2 = \sqrt{4} - 2 = 2 - 2 = 0 $
Então, temos uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $. Isso significa que precisamos usar uma técnica para simplificar a expressão e encontrar o limite.
Passo 3
Uma técnica útil para resolver limites que resultam em $ \frac{0}{0} $ é racionalizar o denominador. Isso envolve multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do denominador. A conjugada de $ \sqrt{5 - x^{2}} - 2 $ é $ \sqrt{5 - x^{2}} + 2 $.
Vamos multiplicar:
Passo 4
Agora, no denominador, aplicamos a diferença de quadrados:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Perceba que $ 1 - x^{2} $ pode ser fatorado como $ (1 - x)(1 + x) $. Assim, temos:
Agora, podemos cancelar o termo $ (1 - x) $ no numerador e denominador:
Passo 6
Agora, podemos substituir $ x = 1 $ diretamente, já que não há mais indeterminação:
Resposta
O limite é igual a 2.