Calcule os limites abaixo.
(a) lim x -2^- 2 x^2+5 x+16+x-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
lim x -2^- 2x^2 + 5x + 16 + x - x^2
Matéria envolvida: Cálculo de limites, especificamente limites laterais de funções racionais.
O que vamos precisar: Saber como substituir valores próximos ao ponto de interesse e entender o comportamento do numerador e denominador quando $ x $ se aproxima de -2 pela esquerda.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ x \rightarrow -2^{-} $. Isso quer dizer que estamos olhando o comportamento da função quando $ x $ se aproxima de -2 vindo de valores menores que -2 (da esquerda).

Passo 3

Vamos substituir $ x = -2 $ na função para ver o que acontece:
Numerador:
x = -2
Denominador:
2(-2)^2 + 5(-2) + 1 = 2(4) - 10 + 1 = 8 - 10 + 1 = -1
Percebemos que o denominador está se aproximando de 0, o que indica que o limite pode ser infinito ou não existir. Precisamos analisar o sinal do denominador próximo a $ x = -2 $.

Passo 4

Vamos considerar $ x $ um pouco menor que -2, por exemplo, $ x = -2 - h $, onde $ h $ é um número muito pequeno e positivo ($ h \rightarrow 0^{+} $).
Substituindo no numerador:
x
Substituindo no denominador:
x = -2 - h

Passo 5

Agora, analisamos os termos dominantes quando $ h $ se aproxima de 0:
Numerador: h
Denominador: -1 + 3h + 2h^2 approx -1
Então, o limite se aproxima de:
-5h - h^2 approx -5h
À medida que $ h $ se aproxima de 0, $ \frac{1}{5h} $ cresce sem limites, ou seja, tende ao infinito positivo.

Resposta

O limite é $ +\infty $.

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