Determinar, através da definição de continuidade, todos os valores de \mathrm{x}>0, para os quais a função abaixo não é contínua.
f(x)=\operatorname{cotg}(x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os pontos x>0 em que a função
f(x)=\operatorname{cotg}(x)
não é contínua, usando a definição de continuidade: dizemos que f é contínua em a se
\lim_{x\to a}f(x)=f(a).
Logo, precisamos identificar onde f não está nem mesmo definida ou onde o limite não existe.

Passo 2

Como
\operatorname{cotg}(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)},
o único possível problema de continuidade ocorre quando o denominador \sin(x) se anula. Nesses pontos a, a função f(a) não existe e costuma haver um comportamento de assíntota vertical, ou seja,
\lim_{x\to a}\operatorname{cotg}(x)=\pm\infty
não é um valor finito igual a f(a). Portanto, são exatamente esses pontos que geram descontinuidade.

Passo 3

Sabemos que
\sin(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x=k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Como queremos apenas x>0, basta tomar k=1,2,3,\dots. Logo, em cada
x=n\pi,\quad n\in\mathbb{N},
a função não é contínua.

Resposta

Todos os pontos de descontinuidade para x>0 são
x=n\pi,\quad n=1,2,3,\dots

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