Calcule os limites abaixo:
(c) (0,75) lim x 0 raiz7 x^2-x+1x^2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto0raiz7x^2-x+1x^2,
que é um problema de indeterminação do tipo “ 1/0”. Vamos verificar o comportamento da raiz no numerador e ver se ele cresce mais devagar ou mais rápido que x^2 no denominador.

Passo 2

Observe que, quando xto0, o radicando tende a
7x^2-x+1;longrightarrow;1,
logo
raiz7x^2-x+1;longrightarrow;1
Isto indica que o numerador tende a 1, enquanto o denominador tende a 0, sugerindo que o quociente pode divergir.

Passo 3

Para confirmar, usemos a expansão em série de Taylor de segunda ordem para a raiz:
seja
A = -x + 7x^2,
então para lvert Arvert pequeno,
raiz1 + A = 1 + A2 + o(A)
Substituindo A,
raiz7x^2-x+1 = 1 + -x + 7x^22 + o(x^2) = 1 - x2 + 7x^22 + o(x^2)
Dividindo por x^2, temos
raiz7x^2-x+1x^2 = 1x^2 - 12x + 72 + o(1)
À medida que xto0, os termos tfrac1x^2 e -tfrac12x dominam, e em particular tfrac1x^2to+infty.

Passo 4

Portanto, o limite diverge para +infty.

Resposta

O limite não é finito:
limxto0raiz7x^2-x+1x^2 = +infty

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