Exercício 12 (E.M.3.43)
Seja ( ) um espaço métrico e . Mostre que e que X cap Y subset barX cap barY. Dê um exemplo mostrando que X cap Y=barX cap barY não vale em geral.
Passo 1
O enunciado está em um espaço métrico (M,d) e trata de fechar conjuntos. Precisamos usar a definição de fecho: dado Asubset M, seu fecho overline A é o menor conjunto fechado que contém A, ou equivalentemente
Com isso vamos mostrar duas propriedades envolvendo união e interseção de subconjuntos X,Ysubset M, e depois dar um exemplo em R em que a igualdade para interseção falha.
Passo 2
Prova de Xcup Ysubsetoverline Xcupoverline Y. Seja zinXcup Y. Então, para todo varepsilon>0 existe win Xcup Y tal que
d(z,w)<varepsilon
Como win Xcup Y significa “win X” ou “win Y”, concluímos que para cada varepsilon ou há um ponto de X ou há um ponto de Y dentro da bola B(z,varepsilon). Logo z pertence à overline X ou à overline Y, isto é,
zinoverline Xcupoverline Y
Passo 3
Prova de overline Xcupoverline YsubsetXcup Y. Se zinoverline X, então para todo varepsilon>0 há xin Xsubset Xcup Y com d(z,x)<varepsilon, logo zinXcup Y. De modo análogo, se zinoverline Y então também zinXcup Y. Assim
overline Xcupoverline YsubsetXcup Y
Com os dois inclusões mostramos Xcup Y=overline Xcupoverline Y.
Passo 4
Prova de Xcap Ysubsetoverline Xcapoverline Y. Seja zinXcap Y. Então, para todo varepsilon>0 existe win Xcap Y com d(z,w)<varepsilon. Mas win Xcap Y implica win X e win Y, então toda bola B(z,varepsilon) encontra pontos de X e também de Y. Isso diz que
zinoverline X e zinoverline Y,
ou seja zinoverline Xcapoverline Y. Portanto
Xcap Ysubsetoverline Xcapoverline Y
Passo 5
Exemplo em R com a métrica usual. Tome
X=(0,1), Y=(1,2)
Então Xcap Y=emptyset e logo
Xcap Y=overlineemptyset=emptyset
Por outro lado
overline X=[0,1], overline Y=[1,2],
logo
overline Xcapoverline Y=1neqemptyset
Isso mostra que em geral não temos Xcap Y=overline Xcapoverline Y.
Resposta
X cup Y = X cup Y, X cap Y subset X cap Y\
e o contraexemplo em R com X = (0,1), Y = (1,2) mostra que a igualdade na interseção pode falhar.