Exercício 12 (E.M.3.43)
Seja ( M, d ) um espaço métrico e X, Y subset M. Mostre que X cup Y=barX cup barY e que X cap Y subset barX cap barY. Dê um exemplo mostrando que X cap Y=barX cap barY não vale em geral.

Passo 1

O enunciado está em um espaço métrico (M,d) e trata de fechar conjuntos. Precisamos usar a definição de fecho: dado Asubset M, seu fecho overline A é o menor conjunto fechado que contém A, ou equivalentemente
zinoverline ALong<=ftrightarrowforallvarepsilon>0;exists,xin A;com;d(z,x)<varepsilon
Com isso vamos mostrar duas propriedades envolvendo união e interseção de subconjuntos X,Ysubset M, e depois dar um exemplo em R em que a igualdade para interseção falha.

Passo 2

Prova de Xcup Ysubsetoverline Xcupoverline Y. Seja zinXcup Y. Então, para todo varepsilon>0 existe win Xcup Y tal que
d(z,w)<varepsilon
Como win Xcup Y significa “ win X” ou “ win Y”, concluímos que para cada varepsilon ou há um ponto de X ou há um ponto de Y dentro da bola B(z,varepsilon). Logo z pertence à overline X ou à overline Y, isto é,
zinoverline Xcupoverline Y

Passo 3

Prova de overline Xcupoverline YsubsetXcup Y. Se zinoverline X, então para todo varepsilon>0 xin Xsubset Xcup Y com d(z,x)<varepsilon, logo zinXcup Y. De modo análogo, se zinoverline Y então também zinXcup Y. Assim
overline Xcupoverline YsubsetXcup Y
Com os dois inclusões mostramos Xcup Y=overline Xcupoverline Y.

Passo 4

Prova de Xcap Ysubsetoverline Xcapoverline Y. Seja zinXcap Y. Então, para todo varepsilon>0 existe win Xcap Y com d(z,w)<varepsilon. Mas win Xcap Y implica win X e win Y, então toda bola B(z,varepsilon) encontra pontos de X e também de Y. Isso diz que
zinoverline X e zinoverline Y,
ou seja zinoverline Xcapoverline Y. Portanto
Xcap Ysubsetoverline Xcapoverline Y

Passo 5

Exemplo em R com a métrica usual. Tome
X=(0,1), Y=(1,2)
Então Xcap Y=emptyset e logo
Xcap Y=overlineemptyset=emptyset
Por outro lado
overline X=[0,1], overline Y=[1,2],
logo
overline Xcapoverline Y=1neqemptyset
Isso mostra que em geral não temos Xcap Y=overline Xcapoverline Y.

Resposta

X cup Y = X cup Y, X cap Y subset X cap Y\
e o contraexemplo em R com X = (0,1), Y = (1,2) mostra que a igualdade na interseção pode falhar.

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