Exercício 13 (E.M.3.55)
Seja (
) um espaço métrico e
um conjunto aberto. Se
é um conjunto denso em
, então
é um conjunto denso em
.
Seja (
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num espaço métrico
, se
é aberto e
é denso em
, então
é denso em
. O conteúdo aqui é definição de conjunto denso e uso de bolas abertas em métricas.
Passo 2
Lembrando que
é denso em
significa que, para todo ponto
e para todo raio
, a bola aberta
interseca
. Da mesma forma, dizer que
é denso em
equivale a afirmar que, para todo
e todo
tal que
, vale
Passo 3
Como
é aberto e
é arbitrário, existe
tal que
Mas
é denso em
, logo
Se
, então
e, como
, temos
. Assim
ou seja,
Passo 4
Concluímos que qualquer bola aberta em
ao redor de um ponto arbitrário
intercepta
. Isso mostra que
é denso em
.