Exercício 13 (E.M.3.55)
Seja ( M, d ) um espaço métrico e A subset M um conjunto aberto. Se X subset M é um conjunto denso em M, então X cap A é um conjunto denso em A.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num espaço métrico (M,d), se Asubset M é aberto e Xsubset M é denso em M, então Xcap A é denso em A. O conteúdo aqui é definição de conjunto denso e uso de bolas abertas em métricas.

Passo 2

Lembrando que X é denso em M significa que, para todo ponto min M e para todo raio r>0, a bola aberta
B(m,r)=yin M: d(y,m)<r
interseca X. Da mesma forma, dizer que Xcap A é denso em A equivale a afirmar que, para todo ain A e todo r>0 tal que B(a,r)subset A, vale
B(a,r)cap (Xcap A)neqvarnothing

Passo 3

Como A é aberto e ain A é arbitrário, existe r>0 tal que
B(a,r)subset A
Mas X é denso em M, logo
B(a,r)cap Xneqvarnothing
Se xin B(a,r)cap X, então xin X e, como B(a,r)subset A, temos xin A. Assim
xin Xcap A e xin B(a,r),
ou seja,
B(a,r)cap (Xcap A)neqvarnothing

Passo 4

Concluímos que qualquer bola aberta em A ao redor de um ponto arbitrário a intercepta Xcap A. Isso mostra que Xcap A é denso em A.

Resposta

Xcap A é denso em A.

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