Calcule os limites abaixo, caso existam:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite quando
se aproxima de 0 para o seguinte vetor:
Vamos usar conceitos de limites e entender como funções trigonométricas se comportam quando seus argumentos ficam muito grandes ou muito pequenos.
Passo 2
Vamos começar com a primeira componente do vetor:
.
Primeiro, sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando todos os lados dessa desigualdade por
(que está se aproximando de 0), temos:
Agora, como
está indo para 0, tanto
quanto
também vão para 0. Pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Compressão), podemos concluir que:
Passo 3
Vamos para a segunda componente:
.
Sabemos que o cosseno também está sempre entre -1 e 1:
Multiplicando por
:
Novamente,
tende a 0 conforme
se aproxima de 0. Aplicando o Teorema do Sanduíche:
Passo 4
Agora, vamos analisar a terceira componente:
.
A tangente é um pouco mais complicada porque, diferentemente do seno e do cosseno, ela pode crescer ilimitadamente perto de seus pontos de descontinuidade, onde o cosseno é zero. No entanto, vamos tentar entender o comportamento dessa expressão.
Sabemos que:
E que tanto
quanto
estão entre -1 e 1, mas
pode se aproximar de 0, fazendo com que
cresça sem limite. Portanto,
pode assumir valores muito grandes positivos ou negativos dependendo de
.
Multiplicando por
:
Aqui,
está se aproximando de 0, mas
está oscilando entre valores muito grandes positivos e negativos. Então, o produto
não se aproxima de nenhum valor específico; ele continua oscilando sem se fixar.