Calcule os limites abaixo, caso existam:
lim t 0(t sin 1t, t^2 cos 1t^2, t^3 tan 1t^3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite quando t se aproxima de 0 para o seguinte vetor:
(t sin 1t, t^2 cos 1t^2, t^3 tan 1t^3)
Vamos usar conceitos de limites e entender como funções trigonométricas se comportam quando seus argumentos ficam muito grandes ou muito pequenos.

Passo 2

Vamos começar com a primeira componente do vetor: t sin 1t .
Primeiro, sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:
-1 <= sin 1t <= 1
Multiplicando todos os lados dessa desigualdade por t (que está se aproximando de 0), temos:
-t <= t sin 1t <= t
Agora, como t está indo para 0, tanto -t quanto t também vão para 0. Pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Compressão), podemos concluir que:
limt to 0 t sin 1t = 0

Passo 3

Vamos para a segunda componente: t^2 cos 1t^2 .
Sabemos que o cosseno também está sempre entre -1 e 1:
-1 <= cos 1t^2 <= 1
Multiplicando por t^2 :
-t^2 <= t^2 cos 1t^2 <= t^2
Novamente, t^2 tende a 0 conforme t se aproxima de 0. Aplicando o Teorema do Sanduíche:
limt to 0 t^2 cos 1t^2 = 0

Passo 4

Agora, vamos analisar a terceira componente: t^3 tan 1t^3 .
A tangente é um pouco mais complicada porque, diferentemente do seno e do cosseno, ela pode crescer ilimitadamente perto de seus pontos de descontinuidade, onde o cosseno é zero. No entanto, vamos tentar entender o comportamento dessa expressão.
Sabemos que:
tan x = sin xcos x
E que tanto sin x quanto cos x estão entre -1 e 1, mas cos x pode se aproximar de 0, fazendo com que tan x cresça sem limite. Portanto, tan 1t^3 pode assumir valores muito grandes positivos ou negativos dependendo de t .
Multiplicando por t^3 :
t^3 tan 1t^3
Aqui, t^3 está se aproximando de 0, mas tan 1t^3 está oscilando entre valores muito grandes positivos e negativos. Então, o produto t^3 tan 1t^3 não se aproxima de nenhum valor específico; ele continua oscilando sem se fixar.

Resposta

lim t 0(t sin 1t, t^2 cos 1t^2, t^3 tan 1t^3) = (0, 0, não existe) ã

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