Calcule os limites abaixo, caso existam:
lim t 0(1-cos tt, sin tt)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de limites! A questão pede para calcular os limites de duas funções quando t se aproxima de 0:
limt 0(1 - cos tt, sin tt)
Vamos usar conceitos básicos de limites e algumas propriedades trigonométricas para chegar nas respostas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular limt 0 sin tt . Esse é um limite bem conhecido e importante em cálculo. A função sin t se comporta de maneira muito similar a t quando t está próximo de 0.
Na verdade, existe um limite fundamental que diz:
limt 0 sin tt = 1
Isso significa que quando t se aproxima de 0, o valor de sin tt se aproxima de 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular limt 0 1 - cos tt . Para resolver esse limite, podemos usar uma identidade trigonométrica que relaciona 1 - cos t com sin t . Sabemos que:
1 - cos t = 2 sin^2(t2)
Substituindo na expressão original:
1 - cos tt = 2 sin^2(t2)t
Podemos reescrever isso como:
2 cdot sin^2(t2)t = 2 cdot (sin(t2)t2)^2 cdot 12
Simplificando:
sin^2(t2)(t2)^2 cdot 1t cdot t = sin^2(t2)(t2)^2
Como t se aproxima de 0, sabemos que:
limt 0 sin(t2)t2 = 1
Portanto:
limt 0 1 - cos tt = 0

Resposta

limt 0 1 - cos tt = 0 e limt 0 sin tt = 1

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