Calcule os limites abaixo, caso existam:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de limites! A questão pede para calcular os limites de duas funções quando
se aproxima de 0:
Vamos usar conceitos básicos de limites e algumas propriedades trigonométricas para chegar nas respostas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Esse é um limite bem conhecido e importante em cálculo. A função
se comporta de maneira muito similar a
quando
está próximo de 0.
Na verdade, existe um limite fundamental que diz:
Isso significa que quando
se aproxima de 0, o valor de
se aproxima de 1.
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Para resolver esse limite, podemos usar uma identidade trigonométrica que relaciona
com
. Sabemos que:
Substituindo na expressão original:
Podemos reescrever isso como:
Simplificando:
Como
se aproxima de 0, sabemos que:
Portanto: