Calcule os limites abaixo, caso existam:
b) lim x infty raiz12 x^2-5 x+21+4 x+3 x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxtoinftyraizdfrac12x^2-5x+21+4x+3x^2. O conteúdo envolve limites de funções racionais e uso de fatoração para simplificar expressões dentro de uma raiz.

Passo 2

Para lidar com polinômios de mesmo grau no numerador e denominador, vamos fatorar x^2 em ambos dentro da raiz. Assim, reescrevemos:
[
\sqrt{\frac{12x2-5x+2}{1+4x+3x2}}
=\sqrt{\frac{x2\bigl(12-\frac{5}{x}+\frac{2}{x2}\bigr)}{x2\bigl(3+\frac{4}{x}+\frac{1}{x2}\bigr)}}
=\sqrt{\frac{12-\frac{5}{x}+\frac{2}{x2}}{3+\frac{4}{x}+\frac{1}{x2}}}

Passo 3

Agora aplicamos limxtoinfty dentro da raiz. Como 1xto0 e 1x^2to0, fica:
limxtoinfty12-5x+2x^23+4x+1x^2=12-0+03+0+0=4

Passo 4

Por fim, tiramos a raiz do resultado. Como estamos em xto+infty, a expressão interna é positiva, então
limxtoinftyraiz12x^2-5x+21+4x+3x^2=raiz4=2

Resposta

2

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