Escoçar o gráfico e determinar a série de Fourier das seguintes funções:
f(t)=lc0, & se -2 <= t <=-1, t, & se -1.

Passo 1

A questão pede para esboçar o gráfico de uma função periódica de período T=4 definida por
f(t)= 0, & -2<= t<= -1, t, & -1< t<1, 0, & 1<= t<2, e depois determinar sua série de Fourier. O conteúdo essencial é a expansão em série de Fourier em todo o período, calculando os coeficientes a0, an e bn.

Passo 2

Para obter a série de Fourier de período T=4 ( L=T/2=2), usamos as fórmulas
a0 = 1Lintegral-L^L f(t),dt, an = 1Lintegral-L^L f(t)cosl(npi tLr) dt, bn = 1Lintegral-L^L f(t)sinl(npi tLr) dt
Aqui só precisamos integrar de -1 a 1, pois f(t)=0 fora desse intervalo.

Passo 3

Cálculo de a0 e an:
a0 = 12integral-1^1 t,dt = 0
Para an:
an = 12integral-1^1 tcosl(npi t2r)dt
Fazendo integração por partes, chega-se a
integral-1^1 tcos(at)dt = 2sin(a)a, a=npi2
Logo
an = 12cdot 2sin(tfracnpi2)(npi/2) = 2npisinl(npi2r)

Passo 4

Cálculo de bn:
bn = 12integral-1^1 tsinl(npi t2r)dt
Como o integrando é par, usamos duas vezes o integral de 0 a 1 e, por partes, obtemos
integral-1^1 tsin(at)dt = 2l[1-cos(a)a + sin(a)a^2r], a=npi2
Portanto
bn = 12cdot 2l[1-cos(tfracnpi2)(npi/2) + sin(tfracnpi2)(npi/2)^2r] = 2l(1-cos(tfracnpi2)r)npi + 4n^2pi^2sinl(npi2r)

Passo 5

Montando a série de Fourier, como a0=0, temos
f(t)=sumn=1^inftyl[ancosl(npi t2r)+bnsinl(npi t2r)r],
com
an=2npisinl(npi2r), bn=2l(1-cos(tfracnpi2)r)npi+4n^2pi^2sinl(npi2r)

Resposta

[f(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[\frac{2}{n\pi}\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\cos\bigl(\tfrac{n\pi t}{2}\bigr) + \Bigl(\frac{2\bigl(1-\cos(\tfrac{n\pi}{2})\bigr)}{n\pi}+\frac{4}{n2\pi2}\sin\bigl(\tfrac{n\pi}{2}\bigr)\Bigr)\sin\bigl(\tfrac{n\pi t}{2}\bigr)\Bigr].

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