Calcule os limites abaixo caso existam. Caso não existam, justifique.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y \cos \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede o limite de \displaystyle \frac{x^{2}y\cos(x^{2}+y^{2})}{x^{2}+y^{2}}
quando (x,y)\to(0,0). O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos usar coordenadas polares para transformar a expressão e aplicar o teorema do confronto.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos \displaystyle x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Substituindo na expressão:
\frac{x^{2}y\cos(x^{2}+y^{2})}{x^{2}+y^{2}} = \frac{(r\cos\theta)^{2}\,(r\sin\theta)\,\cos(r^{2})}{r^{2}} = r\cos^{2}\theta\sin\theta\cos(r^{2}).

Passo 3

Note que \left|\cos^{2}\theta\sin\theta\cos(r^{2})\right|\le1, pois |\cos|\le1 e |\sin|\le1. Logo,
\left|r\cos^{2}\theta\sin\theta\cos(r^{2})\right|\le r.

Passo 4

Como r\to0 implica r\to0, pelo teorema do confronto segue que
\lim_{r\to0}r\cos^{2}\theta\sin\theta\cos(r^{2})=0
independentemente de \theta. Portanto, o limite original existe e vale zero.

Resposta

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