Calcule os limites abaixo caso existam. Caso não existam, justifique. \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y \cos \left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}.
Passo 1
O enunciado pede o limite de \displaystyle \frac{x^{2}y\cos(x^{2}+y^{2})}{x^{2}+y^{2}}
quando (x,y)\to(0,0). O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos usar coordenadas polares para transformar a expressão e aplicar o teorema do confronto.
Passo 2
Em coordenadas polares definimos \displaystyle x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Substituindo na expressão: