- Considere
e faça o que se pede
a) Esboce as curvas de nível
para
.
b) Encontre uma curva diferenciável paramétrica
tal que o traço seja a curva de nível
.
c) Calcule o vetor tangente a curva
do item acima no ponto
.
d) Seja
dada por
. Sabendo que o traço da curva
está no gráfico de
, calcule o vetor tangente à
no ponto
.
a) Esboce as curvas de nível
b) Encontre uma curva diferenciável paramétrica
c) Calcule o vetor tangente a curva
d) Seja
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas sobre a função
a) esboçar as curvas de nível
para
;
b) encontrar uma parametrização diferenciável cujo traço seja a curva de nível
;
c) calcular o vetor tangente a no ponto
;
d) dada cujo traço está no gráfico de
, calcular o vetor tangente em
.
Os conteúdos principais são curvas de nível (cônicas), parametrização de elipse, derivadas de parametrizações em e
.
b) encontrar uma parametrização diferenciável
c) calcular o vetor tangente a
d) dada
Os conteúdos principais são curvas de nível (cônicas), parametrização de elipse, derivadas de parametrizações em
Passo 2
Para achar as curvas de nível
escrevemos
e reorganizamos:
Esta é a equação geral de uma cônica (elipse, hipérbole ou degenerada) no plano
.
Passo 3
Analisando cada valor de
:
- Para
:
que é uma elipse centrada na origem com eixos ao longo de
e
.
2. Para :
2. Para
duas retas horizontais (caso degenerado).
3. Para :
3. Para
Correto:
que é uma hipérbole de duas curvas simétricas.
Passo 4
Para
temos a elipse
. Uma parametrização clássica é
pois
. Essa
é diferenciável e seu traço é exatamente a curva de nível
.
Passo 5
Calculamos
Para encontrar o vetor tangente em
, achamos
tal que
. Como
e
,
. Logo,
Passo 6
Dado
e sabendo que
está no gráfico de
, temos
Então
Em
temos
,
, logo
Resposta
a)
leva a
. Para
uma elipse
, para
as retas
, para
a hipérbole
.
b) .
c) .
d) .
b)
c)
d)