Para cada função f abaixo e cada valor c \in \mathbb{R}, descreva os conjuntos de nível abaixo, isto é, o conjunto dos pontos \left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) que satisfazem f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=c.
f(x, y, z)=\cos \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right), \quad c=-1,-\frac{1}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}, 1.

Passo 1

O enunciado pede para descrever, para cada valor de c\in\{-1,-\tfrac12,0,\tfrac{\sqrt2}{2},1\}, o nível \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid f(x,y,z)=c\}
da função
f(x,y,z)=\cos\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr).
O conteúdo usado será a propriedade das soluções de \cos(t)=c e o fato de que x^2+y^2+z^2\ge0 define esferas centradas na origem.

Passo 2

Para resolver \cos(t)=c lembramos que
\cos(t)=c\iff t=\pm\operatorname{arccos}\text{(c)}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.
Aqui tomamos t=x^2+y^2+z^2\ge0, logo só mantemos os k tais que \pm\operatorname{arccos}\text{(c)}+2\pi k\ge0. Cada solução t fixa \{x^2+y^2+z^2=t\}, que é uma esfera de raio \sqrt{t}.

Passo 3

Em geral, para dado c, o nível é a união de todas as esferas
\{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2=2\pi k+\operatorname{arccos}\text{(c)}\} \quad\text{e}\quad \{(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2=2\pi k-\operatorname{arccos}\text{(c)}\},
com k\in\mathbb{Z} tais que os termos à direita sejam \ge0.

Passo 4

Caso c=1: temos \operatorname{arccos}(1)=0. Então as soluções são
x^2+y^2+z^2=2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z},\;2\pi k\ge0.
Isto é, k=0,1,2,\dots, e o nível é a união das esferas de raio \sqrt{2\pi k}. Para k=0 dá apenas a origem.

Passo 5

Caso c=-1: temos \operatorname{arccos}(-1)=\pi. As equações são
x^2+y^2+z^2=\pi+2\pi k=\pi(2k+1),\quad k\ge0,
e
x^2+y^2+z^2=-\pi+2\pi k=\pi(2k-1),\quad k\ge1.
Ambas geram a mesma sequência \pi,\;3\pi,\;5\pi,\dots. Logo o nível é as esferas de raios \sqrt{(2m+1)\pi}, m=0,1,2,\dots.

Passo 6

Caso c=0: temos \operatorname{arccos}(0)=\tfrac\pi2. As soluções são
x^2+y^2+z^2=\tfrac\pi2+2\pi k,\quad k\ge0,
x^2+y^2+z^2=-\tfrac\pi2+2\pi k,\quad k\ge1.
Isto dá as esferas de raios \sqrt{\tfrac\pi2+2\pi k} e \sqrt{2\pi k-\tfrac\pi2}, k=1,2,\dots.

Passo 7

Caso c=\tfrac{\sqrt2}{2}: temos \operatorname{arccos}(\tfrac{\sqrt2}{2})=\tfrac\pi4. As soluções são
x^2+y^2+z^2=\tfrac\pi4+2\pi k,\quad k\ge0,
x^2+y^2+z^2=-\tfrac\pi4+2\pi k,\quad k\ge1.
Logo a união das esferas de raios \sqrt{\tfrac\pi4+2\pi k} e \sqrt{2\pi k-\tfrac\pi4}, k=1,2,\dots.

Passo 8

Caso c=-\tfrac12: temos \operatorname{arccos}(-\tfrac12)=\tfrac{2\pi}{3}. As soluções são
x^2+y^2+z^2=\tfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\ge0,
x^2+y^2+z^2=-\tfrac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\ge1.
Logo a união das esferas de raios \sqrt{\tfrac{2\pi}{3}+2\pi k} e \sqrt{2\pi k-\tfrac{2\pi}{3}}, k=1,2,\dots.

Resposta

c =1: \{(x,y,z)\mid \| (x,y,z)\|=\sqrt{2\pi k},\\ k=0,1,2,\dots\}.
c=-1: \{(x,y,z)\mid \| (x,y,z)\|=\sqrt{(2m+1)\pi},\\ m=0,1,2,\dots\}.
c =0: \{(x,y,z)\mid \| (x,y,z)\|=\sqrt{\tfrac\pi2+2\pi k}\text{ or }\sqrt{2\pi k-\tfrac\pi2},\\ k=1,2,\dots\}.
c= \tfrac{\sqrt2}{2}: \{(x,y,z)\mid \| (x,y,z)\|=\sqrt{\tfrac\pi4+2\pi k}\text{ or }\sqrt{2\pi k-\tfrac\pi4},\\ k=1,2,\dots\}.
c=- \tfrac12: \{(x,y,z)\mid \| (x,y,z)\|=\sqrt{\tfrac{2\pi}{3}+2\pi k}\text{ or }\sqrt{2\pi k-\tfrac{2\pi}{3}},\\ k=1,2,\dots\}.

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