O conteúdo aqui é o estudo de limites iterados em funções de duas variáveis, usando o Teorema do Confronto (para um limite que existe) e o fato de que \sin(1/y) não tem limite quando y\to0.
Passo 2
Calculemos primeiro \displaystyle L_1(x)=\lim_{y\to0}f(x,y) para x fixo.
Se x=0, então f(0,y)=0 para todo y, logo
L_1(0)=\lim_{y\to0}0=0.
Se x\neq0, para y\neq0 temos f(x,y)=x\sin(1/y). Como \sin(1/y) oscila sem limite quando y\to0, o produto x\sin(1/y) também oscila entre -|x| e |x| e não se aproxima de valor único. Portanto
\lim_{y\to0}f(x,y)\quad\text{não existe para \(x\neq0\).}ã
Passo 3
Como \lim_{y\to0}f(x,y) não existe para qualquer x\neq0, o iterado
\lim_{x\to0}\Bigl(\lim_{y\to0}f(x,y)\Bigr)
não está bem definido (o “limite interior” falha já para x arbitrariamente pequeno não nulo). Em particular ele não pode ser igual a um número real.
Passo 4
Agora calculemos \displaystyle L_2(y)=\lim_{x\to0}f(x,y) para y fixo.
Se y=0, então f(x,0)=0 e claramente
L_2(0)=\lim_{x\to0}0=0.
Se y\neq0, então
f(x,y)=x\sin\!\bigl(\tfrac1y\bigr)
e como \sin(1/y) é apenas um parâmetro fixo em [-1,1], temos
|f(x,y)| = |x|\;\bigl|\sin(1/y)\bigr|\le|x|.
Pelo Teorema do Confronto, \lim_{x\to0}f(x,y)=0. Logo