Seja a função abaixo e faça o que se pede
f(x, y)= \begin{cases}x \operatorname{sen} \frac{1}{y}, & \text { se } y \neq 0 \\\\ 0, & \text { se } y=0\end{cases}
Mostre que \lim _{x \rightarrow 0}\left(\lim _{y \rightarrow 0} f(x, y)\right) \neq \lim _{y \rightarrow 0}\left(\lim _{x \rightarrow 0} f(x, y)\right)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} x\sin\!\bigl(\tfrac1y\bigr),&y\neq0,\\\\ 0,&y=0, \end{cases}
e pede para mostrar que
\lim_{x\to0}\Bigl(\lim_{y\to0}f(x,y)\Bigr)\neq \lim_{y\to0}\Bigl(\lim_{x\to0}f(x,y)\Bigr).
O conteúdo aqui é o estudo de limites iterados em funções de duas variáveis, usando o Teorema do Confronto (para um limite que existe) e o fato de que \sin(1/y) não tem limite quando y\to0.

Passo 2

Calculemos primeiro \displaystyle L_1(x)=\lim_{y\to0}f(x,y) para x fixo.
  • Se x=0, então f(0,y)=0 para todo y, logo
L_1(0)=\lim_{y\to0}0=0.
  • Se x\neq0, para y\neq0 temos f(x,y)=x\sin(1/y). Como \sin(1/y) oscila sem limite quando y\to0, o produto x\sin(1/y) também oscila entre -|x| e |x| e não se aproxima de valor único. Portanto
\lim_{y\to0}f(x,y)\quad\text{não existe para \(x\neq0\).}ã

Passo 3

Como \lim_{y\to0}f(x,y) não existe para qualquer x\neq0, o iterado
\lim_{x\to0}\Bigl(\lim_{y\to0}f(x,y)\Bigr)
não está bem definido (o “limite interior” falha já para x arbitrariamente pequeno não nulo). Em particular ele não pode ser igual a um número real.

Passo 4

Agora calculemos \displaystyle L_2(y)=\lim_{x\to0}f(x,y) para y fixo.
  • Se y=0, então f(x,0)=0 e claramente
L_2(0)=\lim_{x\to0}0=0.
  • Se y\neq0, então
f(x,y)=x\sin\!\bigl(\tfrac1y\bigr)
e como \sin(1/y) é apenas um parâmetro fixo em [-1,1], temos
|f(x,y)| = |x|\;\bigl|\sin(1/y)\bigr|\le|x|.
Pelo Teorema do Confronto, \lim_{x\to0}f(x,y)=0. Logo
L_2(y)=0\quad\text{para todo \(y\).}

Passo 5

Tendo L_2(y)=0 para todo y, o iterado externo é
\lim_{y\to0}\bigl(L_2(y)\bigr) =\lim_{y\to0}0 =0.

Resposta

\lim_{x\to0}\Bigl(\lim_{y\to0}f(x,y)\Bigr) \;\text{não existe} \quad\neq\quad \lim_{y\to0}\Bigl(\lim_{x\to0}f(x,y)\Bigr) =0.ã

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