Calcule os limites abaixo, caso existam. Justifique suas respostas.
lim (x, y, z) (0,0,0) x^2 sen(y+z)x^2+y^2+z^4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma função de três variáveis quando
(x,y,z)to(0,0,0). O conteúdo principal é limite de função de várias variáveis e vamos precisar usar a desigualdade |sin t|<=|t| e, em seguida, o teorema do confronto (squeeze theorem).

Passo 2

Sabendo que |sin(y+z)|<=|y+z|, temos
|x^2sin(y+z)x^2+y^2+z^4|<=x^2|y+z|x^2+y^2+z^4

Passo 3

Agora separamos o numerador:
x^2|y+z|x^2+y^2+z^4=x^2|y|x^2+y^2+z^4+x^2|z|x^2+y^2+z^4

Passo 4

Para a primeira parcela, note que
x^2|y|x^2+y^2+z^4<=x^2|y|x^2+y^2<=|y|,
e como (x,y,z)to(0,0,0) implica yto0, essa parte vai a zero.

Passo 5

Para a segunda parcela, observe que, definindo t=x^2 e u=z^4, temos
x^2|z|x^2+y^2+z^4<=t|z|t+u<=|z|,
pois em qualquer caso t/(t+u)<=1. Como zto0, essa parte também tende a zero.

Passo 6

Pelo teorema do confronto, como o valor absoluto da função é menor que a soma de duas quantidades que vão a zero, concluímos que o limite vale 0.

Resposta

0

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