Dada f(x, y)=2+raizx^2+y^2, pede-se:
Obtenha as curvas de nível k de f. Separe os casos em que k<2, k=2 e k>2.

Passo 1

O enunciado pede para achar as curvas de nível de uma função de duas variáveis, ou seja, os conjuntos de pontos $(x,y)$ tais que $,f(x,y)=k$. O conteúdo aqui é definição de curvas de nível e vamos usar propriedades da raiz quadrada.

Passo 2

Começamos impondo raizx^2 + y^2 = k - 2 . Subtraindo 2 de ambos os lados, obtemos:
$$
\sqrt{x^2 + y^2} = k - 2
$$

Passo 3

Para que a raiz quadrada seja bem definida (isto é, não tenha solução em números reais) precisamos de $(k-2) \ge 0$. Isso já antecipa que $k<2$ não gera curva de nível.

Passo 4

Se $<k<2$, temos $(k-2)<0$ e não existe $(x,y)$ que satisfaça $\sqrt{x2+y2}=k-2$. Logo, a curva de nível é vazia.

Passo 5

Se $k=2$, então $k-2=0$ e $\sqrt{x2+y2}=0$, o que força $(x,y)=(0,0)$. Então a curva de nível é o ponto $(0,0)$.

Passo 6

Se $k>2$, seja $r = k-2>0$. Então $\sqrt{x2+y2}=r$ implica $x2+y2=r^2$. Portanto a curva de nível é o círculo de raio $r=k-2$ centrado na origem.

Resposta

Para k<2: nenhum ponto (curva vazia).
Para k=2: o conjunto {(0,0)}.
Para k>2: o círculo x²+y²=(k-2)², de raio k-2 centrado na origem.

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