Considere a função
. Pede-se:
Desenhe o gráfico de
.
Desenhe o gráfico de
Passo 1
A função é definida de forma diferente em duas regiões do plano xy: para y < 0 e para y ≥ 0. O conteúdo é esboço de superfície em 3D de uma função de duas variáveis, e vamos precisar separar essas duas partes e depois juntá-las.
Passo 2
Para y < 0 temos f(x,y)=0, ou seja, a superfície é o plano horizontal z=0 restrito à região y<0. Na prática, isso significa um semiplano no nível z=0, “abaixo” do eixo y.
Para y ≥ 0 temos f(x,y)=x²+y²+1, ou seja, um paraboloide circular aberto para cima com vértice em (0,0,1), mas cortado pelo semiplano y≥0 — é só a “metade” do paraboloide onde y não fica negativa.
Para y ≥ 0 temos f(x,y)=x²+y²+1, ou seja, um paraboloide circular aberto para cima com vértice em (0,0,1), mas cortado pelo semiplano y≥0 — é só a “metade” do paraboloide onde y não fica negativa.
Passo 3
Na linha de fronteira y=0 as duas partes se encontram numa curva. Substituindo y=0 em x²+y²+1 dá z=x²+1, então sobre y=0 a superfície valoriza z=x²+1, servindo de “costura” entre o plano e o paraboloide.
Passo 4
Para desenhar em 3D siga estes passos: trace os eixos x (horizontal), y (horizontal perpendicular) e z (vertical). Primeiro, para y<0, desenhe o plano z=0 (uma folha plana). Depois, para y≥0, esboce o “bowl” do paraboloide z=x²+y²+1. Finalmente, destaque a curva z=x²+1 sobre y=0 como linha de transição.
Resposta
O gráfico é a junção de dois pedaços: um semiplano horizontal z=0 para y<0 e o meio paraboloide z=x²+y²+1 para y≥0, unidos ao longo da curva z=x²+1 em y=0.