Determine as derivadas parciais indicadas. f(x, t)=x^2 e^-t ; ft t, fx x

Passo 1

Vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função f(x,t)=x^2e^-t. O conteúdo aqui é derivada parcial de segundo ordem, usando que ao derivar em relação a uma variável, a outra é tratada como constante, e aplicando regras de potência e exponencial.

Passo 2

Para obter ftt, primeiro achamos ft. Como x^2 é constante em relação a t e ddte^-t=-e^-t, temos: ft= x^2cdot(-e^-t)=-x^2e^-t
Em seguida, derivamos ft em relação a t para achar ftt. Aplicando de novo ddte^-t=-e^-t e lembrando que -x^2 é constante, vem: ftt= -x^2cdot(-e^-t)=x^2e^-t

Passo 3

Agora, para fxx, começamos por fx. Como e^-t é constante em relação a x e ddxx^2=2x, obtemos: fx=2x,e^-t
Por fim, derivamos fx em relação a x. Aqui e^-t continua constante, então ddx(2x)=2 e: fxx=2e^-t

Resposta

As derivadas de segunda ordem são ftt(x,t)=x^2e^-t e fxx(x,t)=2e^-t.

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