Calcule os limites abaixo, caso existam:
h) lim x -infty raiz9 x^2-xx^3+1

Passo 1

O exercício pede para calcular limxto -infty raiz9x^2 - xx^3+1. O conteúdo envolvido é limites de funções quando x tende a infinito (negativo) e manipulação de radicais. Vamos usar fatoração dentro da raiz e analisar o termo de maior grau para descobrir o comportamento dominante.

Passo 2

Primeiro, observe que podemos fatorar 9x^2 - x como x^2(9 - 1x). Então a raiz fica raizx^2(9 - 1x). Pela propriedade de valor absoluto, temos raizx^2 = |x|, ou seja,
raiz9x^2 - x = |x|raiz9 - tfrac1x

Passo 3

Como estamos fazendo xto -infty, o valor de x é negativo e |x| = -x. Substituindo na expressão original,
raiz9x^2 - xx^3+1 = -xraiz9 - tfrac1xx^3l(1 + tfrac1x^3r)

Passo 4

Agora separemos os fatores dominantes. Podemos escrever
-xraiz9 - tfrac1xx^3(1 + tfrac1x^3) = -raiz9 - tfrac1xx^2l(1 + tfrac1x^3r)

Passo 5

Quando xto -infty, temos raiz9 - tfrac1xto 3, o denominador x^2to +infty e 1 + tfrac1x^3to 1. Assim o quociente tende a zero.

Passo 6

Portanto, o limite existe e é igual a zero.

Resposta

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