Encontre a série em senos mista de Fourier.
f(x)=x^2, 0;

Passo 1

O enunciado pede a expansão de meio–intervalo (0,L) de f(x)=x^2 em série de senos (só termos sin). Vamos usar o conteúdo de séries de Fourier de meia–faixa: para uma função dada em (0,L), sua série em senos é f(x)simsumn=1^infty bnsinl(tfracnpi xLr), onde bn=tfrac2Lintegral0^L f(x)sinl(tfracnpi xLr),dx.

Passo 2

Escrevemos então o coeficiente geral
bn=2Lintegral0^L x^2singl(npi xLgr)dx,
com a=tfracnpiL. Vamos calcular essa integral por partes em duas etapas.

Passo 3

Primeira parte: integramos integral0^L x^2sin(ax)dx escolhendo u=x^2, dv=sin(ax)dx. Temos
integral0^L x^2sin(ax)dx = -x^2cos(ax)a|0^L + 2aintegral0^L xcos(ax)dx

Passo 4

Segunda parte: calculamos integral0^L xcos(ax)dx por partes com u=x, dv=cos(ax)dx. Obtém-se
integral0^L xcos(ax)dx = (-1)^n -1a^2,
pois sin(aL)=0 quando aL=npi. Substituindo de volta,
integral0^L x^2sin(ax)dx = -L^3(-1)^nnpi + 2L^3l((-1)^n -1r)n^3pi^3

Passo 5

Agora multiplicamos por 2/L para achar bn:
bn = 2Lgl[-L^3(-1)^nnpi + 2L^3l((-1)^n -1r)n^3pi^3gr] = -2L^2(-1)^nnpi + 4L^2l((-1)^n -1r)n^3pi^3

Passo 6

Portanto a série em senos fica
f(x)=x^2simsumn=1^inftyl[-2L^2(-1)^nnpi + 4L^2l((-1)^n -1r)n^3pi^3r]sinl(tfracnpi xLr)

Resposta

x^2=sumn=1^inftyl[-tfrac2L^2(-1)^nnpi+tfrac4L^2l((-1)^n-1r)n^3pi^3r]sinl(tfracnpi xLr).

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