Calcule os limites abaixo, caso existam:
r) lim x infty raizx^2+1-raizx^2-3 x

Passo 1

O problema pede para calcular limxtoinftyl(raizx^2+1-raizx^2-3xr). O tema é limites no infinito envolvendo raízes quadradas, e vamos usar a técnica de racionalização (multiplicar pela conjugada).

Passo 2

Multiplicamos a expressão pela conjugada para eliminar as raízes do numerador. Assim,
raizx^2+1-raizx^2-3x =(raizx^2+1-raizx^2-3x)(raizx^2+1+raizx^2+3x)raizx^2+1+raizx^2-3x =x^2+1-(x^2-3x)raizx^2+1+raizx^2-3x =3x+1raizx^2+1+raizx^2-3x

Passo 3

Agora para ver o comportamento quando xtoinfty, fatoramos x dentro das raízes e dividimos numerador e denominador por x:
raizx^2+1=xraiz1+tfrac1x^2, raizx^2-3x=xraiz1-tfrac3x,
3x+1raizx^2+1+raizx^2-3x =3x+1xl(raiz1+tfrac1x^2+raiz1-tfrac3xr) =3+tfrac1xraiz1+tfrac1x^2+raiz1-tfrac3x

Passo 4

Quando xtoinfty, temos tfrac1xto0 e tfrac1x^2to0. Logo a expressão se aproxima de

Resposta

tfrac32

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