Calcule os limites abaixo, caso existam:
q) lim x infty raizx^2+1-raizx^2+x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x infty raizx^2+1-raizx^2+x. Esse exercício está dentro do conteúdo de limites em funções que envolvem raízes. Para resolver, vamos precisar manipular as expressões algébricas para simplificar o cálculo do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que quando x tende ao infinito, tanto raizx^2+1 quanto raizx^2+x tendem a crescer bastante. Para facilitar, vamos racionalizar a expressão, ou seja, multiplicar e dividir pela conjugada da expressão.

Passo 3

Multiplicamos a expressão raizx^2+1-raizx^2+x pela sua conjugada raizx^2+1+raizx^2+x sobre ela mesma:
(raizx^2+1-raizx^2+x) times raizx^2+1+raizx^2+xraizx^2+1+raizx^2+x

Passo 4

No numerador, aplicamos a diferença de quadrados:
(raizx^2+1)^2 - (raizx^2+x)^2 = (x^2+1) - (x^2+x) = 1 - x
Então, a expressão fica:
1 - xraizx^2+1+raizx^2+x

Passo 5

Agora, vamos simplificar o denominador. Podemos fatorar x^2 das raízes:
raizx^2+1 = xraiz1+1x^2 e raizx^2+x = xraiz1+1x
Para x to infty, 1x^2 e 1x tendem a 0, então:
raiz1+1x^2 approx 1 + 12x^2 e raiz1+1x approx 1 + 12x

Passo 6

Substituindo de volta no denominador:
raizx^2+1+raizx^2+x approx x(1 + 12x^2) + x(1 + 12x) = x + 12x + x + 12 = 2x + 12 + 12x

Passo 7

Voltando à nossa expressão original simplificada:
1 - x2x + 12 + 12x
Dividindo numerador e denominador por x:
1x - 1 2 + 12x + 12x^2

Passo 8

Agora, vamos analisar o limite quando x to infty:
  • 1x to 0
  • 12x to 0
  • 12x^2 to 0
Então, a expressão simplifica para:
0 - 12 + 0 + 0 = -12 = -12

Resposta

O limite lim x infty raizx^2+1-raizx^2+x é -12.

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