Determine os valores de a e b tais que lim x infty a x^3+b x^2+2 x+4x^2-3 x+1=-3.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de a e b tais que limxtoinfty a x^3+b x^2+2 x+4x^2-3 x+1 = -3. O conteúdo é limite de função racional envolvendo polinômios, e vamos usar a comparação de graus e a regra de que, quando duas funções são polinômios, o limite no infinito é governado pelos termos de maior grau.

Passo 2

Em limite de funções racionais de polinômios valem as seguintes regras:
  • Se o grau do numerador for maior que o grau do denominador, o limite tende a pminfty.
  • Se os graus forem iguais, o limite é o quociente dos coeficientes líderes.
  • Se o grau do numerador for menor, o limite é zero.
Como queremos um valor finito diferente de zero (−3), precisamos que o grau do numerador seja igual ao grau do denominador, isto é, 2. O numerador atual tem grau 3, então o coeficiente de x^3 deve ser zero. Logo,

Passo 3

Para anular o termo de grau 3 no numerador, impomos
a = 0
Com isso, o numerador fica b x^2 + 2x + 4 e o denominador continua de grau 2.

Passo 4

Agora, para dois polinômios de mesmo grau (2), o limite no infinito é o quociente dos coeficientes de x^2. Então temos
limxtoinfty b x^2 + 2x + 4x^2 - 3x + 1 = b1 = b
Esse valor deve ser igual a −3, portanto

Resposta

a = 0, b = -3

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