Calcule os limites abaixo, caso existam.
lim x 16 x^2-17 x+16raiz[4]x-2

Passo 1

O problema pede para calcular limxto16x^2-17x+16raiz[4]x-2. O conteúdo aqui é limites envolvendo forma indeterminada 0/0 e fatoração de expressões algébricas, usando a mudança de variável t=raiz[4]x.

Passo 2

Como estamos lidando com a raiz quarta, fazemos a troca de variável t=raiz[4]x. Assim, x=t^4 e quando xto16 temos tto2. A expressão vira
x^2-17x+16raiz[4]x-2 =t^8-17t^4+16t-2 .

Passo 3

Agora fatoramos o numerador em termos de t. Note que
t^8-17t^4+16=(t^4-1)(t^4-16)
Cada um desses fatores pode ser decomposto:
t^4-1=(t^2-1)(t^2+1)=(t-1)(t+1)(t^2+1),
t^4-16=(t^2-4)(t^2+4)=(t-2)(t+2)(t^2+4)
Então
t^8-17t^4+16t-2 =(t-1)(t+1)(t^2+1)(t-2)(t+2)(t^2+4)t-2

Passo 4

Cancelamos o fator t-2 que causa a indeterminação, ficando
(t-1)(t+1)(t^2+1)(t+2)(t^2+4)
Agora basta avaliar em t=2:
(2-1)(2+1)(2^2+1)(2+2)(2^2+4)=1times3times5times4times8=480

Resposta

480

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