Calcule o seguinte limite.
Passo 1
Vamos calcular o limite
. Esse problema faz parte da matéria de Cálculo, especificamente sobre limites. Para resolver, vamos precisar entender como tratar expressões que dão formas indeterminadas, como
, e utilizar técnicas como a Regra de L’Hospital.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
por 1 na expressão para ver se conseguimos calcular o limite diretamente.
Substituindo:
- Numerador:
- Denominador:
Assim, o limite fica
, que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas substituindo os valores.
Passo 3
Quando encontramos uma forma indeterminada como
, podemos usar a Regra de L’Hospital. Essa regra nos diz que se o limite
resulta em
ou
, então esse limite é igual ao limite dos derivados do numerador e do denominador, ou seja:
Passo 4
Vamos aplicar a Regra de L’Hospital calculando as derivadas do numerador e do denominador.
- Derivada do numerador
:
- Derivada do denominador
:
Para derivar
, usamos a regra da cadeia:
Assim, a derivada do denominador é:
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo no limite:
Substituindo
:
Resposta
O limite é igual a 4.