Calcule o seguinte limite.
lim x 1 x-12-raiz5-x

Passo 1

Vamos calcular o limite limx 1 x - 12 - raiz5 - x. Esse problema faz parte da matéria de Cálculo, especificamente sobre limites. Para resolver, vamos precisar entender como tratar expressões que dão formas indeterminadas, como 0/0, e utilizar técnicas como a Regra de L’Hospital.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x por 1 na expressão para ver se conseguimos calcular o limite diretamente.
Substituindo:
  • Numerador: x - 1 = 1 - 1 = 0
  • Denominador: 2 - raiz5 - x = 2 - raiz5 - 1 = 2 - raiz4 = 2 - 2 = 0
Assim, o limite fica 00, que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite apenas substituindo os valores.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada como 00, podemos usar a Regra de L’Hospital. Essa regra nos diz que se o limite limx a f(x)g(x) resulta em 00 ou inftyinfty, então esse limite é igual ao limite dos derivados do numerador e do denominador, ou seja:
limx a f(x)g(x) = limx a f'(x)g'(x)

Passo 4

Vamos aplicar a Regra de L’Hospital calculando as derivadas do numerador e do denominador.
  • Derivada do numerador f(x) = x - 1:
f'(x) = 1
  • Derivada do denominador g(x) = 2 - raiz5 - x:
Para derivar raiz5 - x, usamos a regra da cadeia:
ddx raiz5 - x = 12raiz5 - x times (-1) = -12raiz5 - x
Assim, a derivada do denominador é:
g'(x) = -(-12raiz5 - x) = 12raiz5 - x

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hospital substituindo no limite:
limx 1 f(x)g(x) = limx 1 f'(x)g'(x) = limx 1 112raiz5 - x = limx 1 2raiz5 - x
Substituindo x = 1:
2raiz5 - 1 = 2raiz4 = 2 times 2 = 4

Resposta

O limite é igual a 4.

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